Question

问一道高一数学题。求详解。

已知函数y=f（x）是R上的奇函数，当x≤0时，f（x）=（3的x次方/9的x次方+1）-1/2
（1）求y=f（x）
（2）判断并证明y=f（x）在（-∞，0）上的单调性。

求过程、谢谢

Answer 1

解：(1)因为y=f（x）是R上的奇函数，则y=f（x）= -f（- x），当x≥0时，-x=u≤0,则y=f（x）= -f（u）,即得y=-f(u)= -[3^u/9(u+1)-1/2]= -[3^-x/9(-x+1)-1/2],所以f（x）= -【3^-x/9(-x+1)-1/2】,x≥0；
f（x）=3^x/9(x+1)-1/2，x≤0。
（2）函数是严格单调递减，证明：令x1＜x2＜0,f(x1) - f(x2)=3^x1/9(x1+1) - 3^x2/9(x2+1),又9^x=3^2x，所以f(x1) - f(x2)=【3^(2x2+x1+2)-3^(2x1+x2+2)】/9^(x1+1+x2+1),即判断【3^(2x2+x1+2)-3^(2x1+x2+2)】的正负号，即判断(2x2+x1+2)-(2x1+x2+2)的正负号，为正号，所以在此区间函数严格单调递减，有函数是奇函数，所以函数总的也是严格单调递减。

Answer 2

【1】∵函数f(x)是R上的奇函数，∴恒有f(x)+f(-x)=0.(x∈R).又当x＞0时，-x＜0.∴由题设，f(-x)={3^(-x)/[1+9^(-x)]}-(1/2)={(3^x)/[1+9^x]}-(1/2)，∴此时f(x)=-f(-x)=(1/2)-{(3^x)/(1+9^x)}.(x＞0).【2】由题设，当x≤0时，函数f(x)=[(3^x)/(1+9^x)]-(1/2).换元可设t=3^x.(x＜0).易知，在R-上，t=3^x递增，且0＜t＜1.∴问题可化为求函数g(t)=t/(t²+1)在(0,1)上的单调情况。g(t)=1/[t+(1/t)].易知，t+(1/t)在(0,1)上递减，∴g(t)在(0,1)上递增，再由复合函数单调性可知，函数f(x)在R-上递增。

Answer 3

首先，奇函数关于原点中心对称，据此可求出在正半轴上的解析式，就是根据fx=-f-x，结果是（3的-x次方/9的-x次方+1）-1/2，然后写成分段的形式就行了
第二问这个就是根据复合函数的单调性判断，增反减同，这样可以只看根号里的东西，然后分子分母除以3的x次方，分母上是个对号函数，剩下的就不用我说了吧。

Answer 4

我给你解了，内容太多，以图片格式给你发。希望能帮得上你呵呵

Answer 5

1.当x≤0时，f（x）=（3的x次方/9的x次方+1）-1/2=[3的x次方/3的(2x)次方+1]-1/2
=3的(-x)次方-1/2= （1/3）的x次方-1/2
函数y=f（x）是R上的奇函数,则当x＜0时，-x＞0，
f（x）=-f（-x）= -【3的x次方-1/2】= -3的x次方+1/2
2.可以证明函数为减函数
对任意的x1＜x2＜0,x2-x1>0
有f（x1）/f（x2)=[（1/3）的x1次方]/[（1/3）的x2次方]
=（1/3）的(x1-x2)次方=3的(x2-x1)次方＞1
所以函数单减