Question

高数疑问：关于泰勒公式

同济五版中泰勒公式的引例中如图所示需要满足什么条件，书看了半天还不解，它这个公式是近似值吗？如果把右边f都换成p，公式是否就是准确的了？和泰勒公式有什么不一样的地方，高人指点啊

Answer 1

记不记得微分那节中的正方形金属薄片因温度变化而发生的变长变化？
本来的变长是x 变化后的变长为x＋δx ，所以面积变化为δA=2xδx＋δx²...（边长x已给定）
因变量的改变等于一个固定的值即2x 乘以因变量的变化δx，然后加上一个δx的高阶无穷小。
考虑一下以上叙述...
稍稍推广一点就是微分的结论δy=Aδx＋ε（δx）...

一个函数f（x）在x的某个领域内是连续可导的。若x趋向于x0 。。则可以用f（x）=f（x0）＋δx×A.。这里的A就是函数的倒数....（这个式子也可以通过导数的定义式变形或者拉格朗日中值定理变形得出）

所以出现了书中的引例.....这个公式就是f（x）的近似值...你也知道是近似值所以不准确...还少一个余项...这里的余项有皮亚诺余项和拉格朗日余项...加上余项就是准确值...

Answer 2

不一样啊，少了个余项，是近似的