Question

帮帮忙，初三二次函数题

抛物线y=-x平方+bx+c与x轴交于A(1,0)，B（-3.0）两点
（1）求该抛物线的解析式
（2）设(1)中的抛物线交Y轴于点C，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由

Answer 1

将A与B两点坐标代入解析式，得
-1 - b + c = 0
-9 -3b + c = 0
解之得， b = -4 c = -3
因此解析式为 y = -x^2 - 4x - 3

怎么还有这么多……
由前面的计算可以得到，C(0,-3),且抛物线的对称轴为x=1
所以，令Q点坐标为Q(1，y)
那么，△QAC的周长=QA+QC+AC=(√y^+4)+[√1+(y+3)^]+√10
可以看出，要使得△QAC的周长最小，即只要保证(√y^+4)+[√1+(y+3)^]最小即可
令f(y)=(√y^+4)+[√1+(y+3)^],在f'(y)=0得到y=-2,此时f(y)有最小值，也即是△QAC的周长有最小值。
此时，Q点坐标为Q(1,-2)

Answer 2

1，两个点代入式子，得到二元一次方程组，解出b和c，得到解析式
2，有了解析式，对称轴就知道了，即Q的横坐标知道了。设Q为（x，y）x已知，分别列出QA,QC的代数式以及AC长度，然后加起来为周长C，得到一个y与C的函数式。欲求周长最小，意为delta＝0，求出y的值

Answer 3

(1)分别把A、B坐标代入待定解析式得 b+c=1和-3b+c=9
解得 b=-2，c=3，∴ 解析式为 y=-x²-2x+3 ①
(2)把x=0代入①得y=3，∴c(0,3)
显然已知抛物线的对称轴为x=-1
设Q(-1,y)，∵A、C都是定点，∴要△QAC周长最小，只需QA+QC最小
∵QA=QB，∴只需QC+QB最小。显然当Q是CB与直线x=-1的交点时，QC+QB最小。
设直线BC的方程为y=kx+b ②
分别把B(-3,0)和C(0,3)代入②得 -3k+b=0 和 b=3，∴ k=1
故 BC：y=x+3 ③
将③与x=-1联立解得Q(-1,2)