Question

一维无限深势阱运动的两电子体系的基态和第一激发态的波函数怎么求啊？（不考虑两电子间的相互作用

Answer 1

有意思的题目。如果不考虑电子相互作用，简单的考虑，两电子体系的波函数F(x1,x2)等于两个电子波函数的乘积f(x1)f(x2)，那么看似基态波函数就是当两个电子都处于基态的情况了。
不要忘了，电子是费米子，也就是说，两个电子波函数必须满足，F(x1,x2)=-F(x2,x1),所以f(x1)f(x2)需要反对称化：f(x1)f(x2)-f(x2)f(x1)＝0（f(x)是单粒子在无穷深势阱的基态）。这个的物理意义是这两个电子不能都在基态，貌似跟泡利不相容原理符合啊。于是我们把两个电子的态记为(i,k)，表示第一个电子处于第i激发态，第二个电子处于第k激发态。那么(0,0)已经被排出了，剩下(1,0),(0,1)就是基态，(2,0)(0,2）是第一激发态（跟(0,0)同理，(1,1)被排除了。）f(x1)g(x2)反对称化后是f(x1)g(x2)-f(x2)g(x1)。
但是，我们并不能认为这就是答案，因为我们还没有考虑被我们排除掉的能量本征态是简并态的情况。事实上，因为电子是自旋1/2的粒子，两个电子的完整波函数为空间部分波函数F(x1,x2)跟自旋波函数S(1,2)的直积。现在回过头看(0,0)这个态，我们记电子两个自旋态为|+>跟|->。我们可以很显然看到交换对称的f(x1)f(x2)只要跟一个交换反对称的自旋态S(1,2)直积，那么当同时交换两个电子的自旋跟位置的时候我们就会得到一个完全反对称的函数。我们很自然想到S(1,2)是自旋单态|+>|->-|->|+>。所以这个系统的基态波函数是f(x1)f(x2),并且此时两电子处于自旋单态。
同理我们也不能否决(1,1),这个态需要跟(0,2)比较哪个能量更低，哪个就是第一激发态。如果(1,1)能量低，那么系统类似(0,0)处于自旋单态，空间波函数为f(x1)f(x2)，f为单粒子无穷深势阱的第一激发态波函数。
如果(2,0)能量第，那么有两种选择
1.空间波函数对称，自旋波函数反对称（自旋单态）；
2. 空间波函数反对称，自旋波函数对称（自旋三重态）