Question

高二圆锥曲线，椭圆，急~~

如图直角ΔACB中,∠C=90°,AC=4,BC=3,点D在变BC上,椭圆E以A,D为焦点且经过B,C.现以线段AD所在直线为x轴，其中AD中点O为坐标原点建立直角坐标系。
（1）求椭圆E的方程；
(2)O(√5/2,1)为椭圆E内的一定点，点P是椭圆上的一动点，求PO+PD的最值。
（3）设椭圆E分别于x，y正半轴交与M,N两点，且y=kx（k>0）与椭圆E相交于E,F两点，求四边形MENF面积的最大值

Answer 1

解：(1)由勾股定理易求得AB=√(AC²+BC²)=5
由椭圆定义有BD=2a-AB，DC=2a-AC，二式相加得BD+DC=2a-AB+2a-AC，即
BC=4a-AB-AC，
代入数值得3=4a-4-5，解得a=3
进而DC=2a-AC=2*3-4=2
再次由勾股定理得AD=√(AC²+DC²)=√(4²+2²)=2√5
所以c=AD/2=√5，进而求得b=2，所以
椭圆E的方程为x²/9+y²/4=1
(2) 椭圆定义有PD=2a-PA，所以PO+PD=PO+2a-PA=6+(PO-PA)
在△POA中，由两边之差不小于第三边，有-OA≤PO-PA≤OA(当O、P、A三点共线时不成为三角形，取得等号)
所以6-OA≤PO+PD≤6+OA
因为A为左焦点，所以A(-√5，0)，由两点间的距离公式可求得OA=7/2，所以
5/2≤PO+PD≤19/2
(3)易知M(3，0)，N(0，2)，将y=kx与椭圆方程联立可解得
E(6/√(9k²+4)，6k/√(9k²+4))，F(-6/√(9k²+4)，-6k/√(9k²+4))
所以EF=6√(k²+1)/√(9k²+4)
再由点到直线的距离公式可求得M、N到直线y=kx的距离分别为
h1=3k/√(k²+1)，h2=2/√(k²+1)，所以
四边形MENF面积S=SΔEFM+ SΔEFN
=(1/2)EF*h1+(1/2)EF*h2
=(1/2)EF(h1+h2)
=(1/2)*[6√(k²+1)/√(9k²+4)]*[ 3k/√(k²+1)+2/√(k²+1)]
=(9k+4)/√(9k²+4)
令k=(2/3)tanθ，则θ∈(0，π/2)
S=[9*(2/3)tanθ+4]/√[9(2/3)²tan²θ+4]=3sinθ+2cosθ=√13sin(θ+φ)≤√13 (tanφ=2/3)
四边形MENF面积的最大值为√13。