Question

设曲线C是平面内的两个定点F1、F2(|F1F2|=2c>0)的距离的平方和为常数2a^2(a>0)点的轨迹，请研究曲线C，

设曲线C是平面内的两个定点F1、F2(|F1F2|=2c>0)的距离的平方和为常数2a^2(a>0)点的轨迹，请研究曲线C，并给出常数a的几何意义。

这是一道让人没有什么思路的题目OAQ

请给予详细解释！！

Answer 1

|F1F2|=2c>0, 设F1, F2的坐标分别为F1(-c, 0), F2(c, 0).
C上任意一点P的坐标为(x, y):
|CF1|^2 + |CF2|^2 = 2a^2
|CF1|^2 = (x+c)^2 + y^2
|CF2|^2 = (x-c)^2 + y^2

(x+c)^2 + y^2 + (x-c)^2 + y^2 = 2a^2
简化得: x^2 + y^2 = a^2 - c^2
a < c时, a^2 - c^2 < 0, 曲线C不存在
a = c时, a^2 - c^2 = 0, 曲线C是原点
a > c时, a^2 - c^2 > 0, 曲线C是以原点为圆心，半径为sqrt(a^2-c^2)的圆 (sqrt为平方根).