Question

已知直线（3a-1）x-(a+2)y+6=0

已知直线（3a-1）x-(a+2)y+6=0
求证（1）;无论a为何值都过第一象限
(2)为使这条直线不过第四象限。求a 取值范围

Answer 1

1、
3ax-x-ay-2y+6=0
(2x-y)a=x+2y-6
2x-y=0且x+2y-6=0时一定成立
则x=6/5,y=12/5
所以直线过(6/5,12/5)
这个点在第一象限
所以直线都过第一象限

2、
-(a+2)=0,a=-2
则-7x+6=0
x=6/7,过14象限，不合题意

a≠-2
y=(3a-1)x/(a+2)+6/(a+2)
不过第四象限则(3a-1)/(a+2)>=0,6/(a+2)>=0
6/(a+2)>=0则a+2>0,a>-2
所以(3a-1)/(a+2)>=0则3a-1>=0,a>=1/3

综上
a>=1/3

Answer 2

∵（3a-1）x-(a+2)y+6=0
∴x+2y-6=a(3x-y)
∵要使a取任意值，必须使x+2y-6=0且3x-y=0
∴x=6/7,y=18/7
即直线（3a-1）x-(a+2)y+6=0一定经过点（6/7,18/7）
∴无论a为何值直线（3a-1）x-(a+2)y+6=0 值都过第一象限

∵要使这条直线不过第四象限，则3a-1≥0,且a+2＞0
∴a≥1/3

Answer 3

（3a-1)x-(a+2)y+6=0
即（3x-y)a-x-2y+6=0
当3x-y=0且-x-2y+6=0时，无论a取何值恒成立。
解得：x=6/7,y=18/7
即直线恒过点P（6/7，18/7），又P在第一象限，故直线恒过第一象限。
当直线在Y轴上的截距在[0，18/7]之间时，直线不过第四象限。
令X=0，得Y=6/(a+2).(a+2不=0）
即截距=6/（a+2)
0<=6/(a+2)<=18/7
得：a>=1/3
即当a>=1/3时，直线不过第四象限。

Answer 4

证明：结论（1）
1，如果a=1/3，y=18/7，该直线过第一象限
2，如果a-2，x=6/7，该直线过第一象限
3，如果a≠1/3且a≠-2，假定直线不过第一象限，则直线与X，Y两轴的交点都应该在负半轴，即：
y=6/(a+2)<0,推出a<-2 且
x=6/(1-3a)<0,推出a>1/3
显然a<-2 且a>1/3不成立，即上述直线不过第一象限的假定不成立，

综上，无论a为何值，直线总经过第一象限。

求解（2）：
为保证直线不过第四象限，则必须保证直线交于X的副半轴和Y的正半轴，即x轴截距<=0,
y轴截距>0,

y=6/(a+2)>0,推出a>-2 且
x=6/(1-3a)<=0,推出a<=1/3
故-2<a<=1/3