Question

证明：若n为正整数，则式子n（n+1)（n+2)（n+3)+1的值一定是某一个整数的平方。

Answer 1

n（n+1)（n+2)（n+3)+1
=n(n+3) * (n+1)(n+2) +
=(n²+3n) * (n² +3n +2) +1
令u=n²+3n
则原式 = u(u+2)+1
=u²+2u+1
=(u+1)²
证毕

Answer 2

证明：

n(n+1)(n+2)(n+3)+1
=n(n+3)(n+1)(n+2)+1
=(n^2+3n)(n^2+3n+2)+1
=(n^2+3n)^2+2(n^2+3n)+1
=(n^2+3n+1)^2
故n(n+1)(n+2)(n+3)+1 是一个完全平方数