Question

这道微分方程怎么做呢

Answer 1

原式两边同除以 x+1 即变为 y′- [n/(x+1)]·y = (x+1)^n ·e^x
这个式子已经是成型的一阶线性微分方程了，代入通解公式：
y={q(x)·e^∫p(x)dx+C}·e^－∫p(x)dx 这个公式书上有的，你记住q(x)在左还是在右边的情况。
这里q(x)=(x+1)^n ·e^x p(x)= -n/(x+1)
其中∫p(x)dx = ∫-n/(x+1)dx = -n∫1/(x+1)d(x +1)=-n·㏑(x+1)
后面就不解了，相信你会了。

Answer 2

解：先求解 (x+1)dy/dx-ny=0
∵(x+1)dy/dx-ny=0 ==>dy/y=ndx/(x+1)
==>ln│y│=n*ln│(x+1)│+ln│C│ (C是积分常数)
==>y=C(x+1)^n
∴(x+1)dy/dx-ny=0的通解是y=C(x+1)^n
于是，设(x+1)dy/dx-ny=e^x(x+1)^(n+1)的通解是y=C(x)(x+1)^n (C(x)表示关于x的函数)
∵y'=C'(x)(x+1)^n+nC(x)(x+1)^(n-1)
代入原方程整理得C'(x)=e^x
==>C(x)=e^x+C (C是积分常数)
∴原方程的通解是y=(e^x+C)(x+1)^n 。