Question

已知圆C的圆心在直线L：X-2Y-1=0上，并且经过原点和A(2,1),求圆C的标准方程。

Answer 1

∵圆C的圆心在直线L：X-2Y-1=0上，并且经过原点和A(2,1),
∴圆心为直线OA的垂直平分线与直线L的交点。
∵直线OA过原点，可设直线OA的解析式为y=kx,将A(2,1)代人得，k=1/2.
令OA的中点为D,则点D的坐标为（1,1/2）
∴直线OA的垂直平分线DC的斜率为k=-2,其直线方程为y-1/2=-2(x-1),即为4x+2y-5=0.
联立方程组：X-2Y-1=0 ①; 4X+2Y-5=0 ②
29/20解得X=6/5， Y=1/10.∴圆心C 的坐标为（6/5,1/10）
根据两点间距离公式知半径的平方为:（X-0）²+（Y-0）²=(6/5)²+(1/10)²=29/20,
∴圆C的标准方程为：（x-6/5)²+(x-1/10)²=29/20

Answer 2

圆C的圆心在直线L：X-2Y-1=0上，
所以可以设圆心的坐标为（2a+1,a）
又因为圆C经过原点和A(2,1),
所以 (2a+1-0)^2+(a-0)^2=(2a+1-2)^2+(a-1)^2
解得a=1/10 所以圆心的坐标为（6/5,1/10）
半径的平方=（6/5）^2+(1/10)^2=29/20
所以圆C的标准方程：（x-6/5)^2+(x-1/10)^2=29/20

Answer 3

∵圆C的圆心在直线L：X-2Y-1=0上，并且经过原点和A(2,1),
∴圆心为直线OA的垂直平分线与直线L的交点。
∵直线OA过原点，可设直线OA的解析式为y=kx,将A(2,1)代人得，k=1/2.
令OA的中点为D,则点D的坐标为（1,1/2）
∴直线OA的垂直平分线DC的斜率为k=-2,其直线方程为y-1/2=-2(x-1),即为4x+2y-5=0.
联立方程组：X-2Y-1=0 ①; 4X+2Y-5=0 ②
29/20解得X=6/5， Y=1/10.∴圆心C 的坐标为（6/5,1/10）
根据两点间距离公式知半径的平方为:（X-0）²+（Y-0）²=(6/5)²+(1/10)²=29/20,
∴圆C的标准方程为：（x-6/5)²+(x-1/10)²=29/20

Answer 4

OA与直线L斜率相等
OA的垂直平分线与直线L的交点就是圆心
OA的垂直平分线的斜率k=-2
OA中点坐标为（1,1/2）
OA的垂直平分线的方程为
y-1/2=-2(x-1)
即y=-2x+5/2
y=1/2x-1
交点为（7/5，-3/10）
r^2=49/25+9/100=41/20
圆的方程为：
(x-7/5)^2+(y+3/10)^2=41/20