Question

请用导数帮我解下这题，要详细答案哦

已知函数f（x）=2 X^3-3（2+a^2）X^2+6(1+a^2)X+1(a∈R) 1.若函数f（x）在R上单调，求a的值。2.若函数f（x）在区间[0,2]上的最大值是5，求a的取值范围。
你给的第二问答案不对，正确答案是—√6/3≤a≤√6/3。注：是三分之根号六。

Answer 1

1.
求导数f’(x)=6x²-6(2+a²)x+6(1+a²)
当f’(x)≥0 函数f(x)单调增
6x²-6(2+a²)x+6(1+a²)≥0 在R上需恒成立
∴f’(x)的最小值6(6(2+a²)/12)²-6(2+a²)(6(2+a²)/12)+6(1+a²)≥0
化简得：-3/2a^4≥0
∵a∈R ∴a=0
当f’(x)≤0 时单调减，但因为f’(x)函数开口向上，f’(x)≤0在R上不能恒成立，
所以函数f(x) 在R上只能单调增。
即当a=0时，f(x) 在R上单调增。
2.
求导数f’(x)=6x²-6(2+a²)x+6(1+a²)
函数f(x)有极值时f’(x)=0，6x²-6(2+a²)x+6(1+a²)=0
即(x-1)(x-1-a²)=0
方程的根：
x1=1，x2=1+a² 由结果可知x2≥x1
当x<x1时，f’(x)>0 函数f（x）单调增
当x1<x<x2时，f’(x)<0 函数f（x）单调减
当x>x2时，f’(x)>0 函数f（x）单调增
∴最大值可能在x=1或x=2时出现
f(1)=3+3a²
f(2)=5
可见f(2)已经是一个最大值点。
∴f(1) ≤5
即3+3a²≤5
解得-√6/3≤a≤√6/3

Answer 2

求导得：
f'(x)=6x^2-6(2+a^2)x+6(1+a^2)=6(x-1)([x-(1+a^2)]
令f'(x)=0，则x=1或x=1+a^2，显然1+a^2≥1
则f'(x)≥0的解为x≤1或x≥1+a^2；令f'(x)≤0，得1≤x≤1+a^2；
要使f(x)在R上单调，则1+a^2=1，
所以a=0 此时，f(x)在R上单调递增。

由①求得f(x)在[1，1+a^2]上递减，在（-∞，1]∪[1+a^2，+∞)上递增
因此，f(x)在[0，2]上有最大值5，分以下情况讨论：
①当1+a^2≤2，即-1≤a≤1时，可能的最大值为f(1)或f(2)，
f(1)=2-3(2+a^2)+6(1+a^2)+1=3+3a^2
f(2)=2×8-3×4(2+a^2)+6×2(1+a^2)+1=5+9a^2
若f(2)为最大值，则a=0∈[-1，1]，此时f(1)=3＜5，满足题意；
若f(1)为最大值，则a=±根号(2/3)∈[-1，1]，但f(2)＞5，不满足题意；
所以a=0。
②当1+a^2≥2，即a≤-1或a≥1时，可能的最大值为f(1)，而由①的讨论可知此时求得的a不∈（-∞，-1]∪[1，+∞)，所以无解。

综上，a=0满足题意，a的取值范围为{0}。

Answer 3

（1）求导得：
f'(x)=6x^2-6(2+a^2)x+6(1+a^2)
=6(x-1)([x-(1+a^2)]
令f'(x)=0，则x=1或x=1+a^2，显然1+a^2≥1
则f'(x)≥0的解为x≤1或x≥1+a^2；令f'(x)≤0，得1≤x≤1+a^2；
要使f(x)在R上单调，则1+a^2=1，
所以a=0
此时，f(x)在R上单调递增。

（2）由①求得f(x)在[1，1+a^2]上递减，在（-∞，1]∪[1+a^2，+∞)上递增
因此，f(x)在[0，2]上有最大值5，分以下情况讨论：

①当1+a^2≤2，即-1≤a≤1时，可能的最大值为f(1)或f(2)，
f(1)=2-3(2+a^2)+6(1+a^2)+1=3+3a^2
f(2)=2×8-3×4(2+a^2)+6×2(1+a^2)+1=5+9a^2
若f(2)为最大值，则a=0∈[-1，1]，此时f(1)=3＜5，满足题意；
若f(1)为最大值，则a=±根号(2/3)∈[-1，1]，但f(2)＞5，不满足题意；
所以a=0。
②当1+a^2≥2，即a≤-1或a≥1时，可能的最大值为f(1)，再与一讨论。

综上，a=0满足题意，a的取值范围为{0}。