Question

直角梯形ABCD中

在直角梯形ABCD中,AD‖BC,DC⊥BC,AB=10,AD=6,DC=8,BC=12.点E在下底边BC上,点F在腰AB上.
(1)若EF平分直角梯形ABCD的周长,设BE长为x,试用含x的代数式表示△BEF的面积;
(2)是否存在线段EF将直角梯形ABCD的周长和面积同时平分?
(3)若线段EF将直角梯形ABCD的周长分成1:2的两部分,将△BEF的面积记为S1,四边形AFECD的面积记为S2,且S1:S2=k,求出k最大值.

Answer 1

1.设△BEF的高为h，由题意可得方程组
x+BF=AF=6+8+12-x
AF+BF=10
然后得BF=18-x
过A点做BC的垂线，垂足为M，则BF/AF=h/AM，解得h=（72-4x）/5
所以S△BEF=xh/2=（36x-2x^2）/5
2.S直角梯形ABCD=72，令S△BEF=36，解得x不存在，因此线段EF不存在

第三题不算了因为这个题的代数式太麻烦了，电脑又没法用合适的表达式，我和楼主说一下思路吧，首先注意有可能有两种情，先用含有x的代数式表达BF，然后BF/AF=h/AM求出h，再表达出S△BEF，然后用直角梯形的面积减去三角形的面积得到五边形的面积，此时S1,S2均准备好，最后比较得出答案即可