Question

高中数学，圆锥曲线与方程

1已知A（-2，0），B(2,0),点C在直线x+2y-2=0上运动，求三角形ABC的重心G的轨迹方程

2圆P经过点B(0,3)且与圆A：x^2+(y+3)^2=100内切，求圆心P的轨迹方程

Answer 1

1.
重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1
AB中点是原点(0，0)
设P(x,y)，C(x1,y1)
OC=3OP
∴x1=3x，y1=3y
∴C(3x,3y)
把C代入x+2y-2=0得
3x+6y-2=0
∴△ABC的重心G的轨迹方程为3x+6y-2=0

2.
设圆P的半径为r
∵圆P与圆A向内切
∴圆心距为半径之差
即AP=10-r
则BP=r，AP=10-r
∴BP+AP=10
∴P到两定点A、B的距离之和为定值
∴P的轨迹为焦点在y轴上的椭圆
设椭圆方程为x/b²+y/a²=1 (0＜b＜a)
则2a=10
a=5
c=3
b=√(a²-c²)=4
∴P的轨迹方程为x/16+y/25=1

Answer 2

1.AB的中点为原点O(0,0)，根据重心的定义，知道G点是CO的三分点，即：|OG|=|OC|/3
设G坐标为（x,y）,则C点坐标为(3x,3y),代入直线方程，得：
3x+6y-2=0
即为G点的轨迹方程，当y=0时，ABC三点在一条直线上不是三角形，所以点(2/3，0)要去掉。

2.因为圆P与圆A内切，根据平面几何可知：圆P的半径加PB的距离等于圆A的半径10（你可以画图看一看）。
也即点P到两定点A（0，-3）、B（0，3）的距离之和不变，根据椭圆的一种定义，可知P点的轨迹为为椭圆。容易求得方程为：x^2/16 + y^2/25 =1 （这一过程你可以自己推算）