Question

已知抛物线y=1/2x^2+bx+c与y轴交于c,与x轴交于A、B。A(2,0)C(0,-1)

（1）求抛物线解析式
（2）点E是线段AC上一动点，过点E作DE垂直x轴，连接DC，当三角形DCE的面积最大时，求点D的坐标。
（3）在直线BC上是否存在一点P，使三角形ACP为等腰三角形，若存在，求点P的坐标，若不存在，说明理由。

3要有详细过程！

Answer 1

(1)
将A, C坐标带入解析式，
求得：
b= - 1/2; c=-1
所以抛物线解析式为：
y= 1/2 x^2 - 1/2 x - 1

(2)
已知A(2,0) C(0,-1)
易得直线AC解析式为：y = 1/2 x - 1
则，设E(x, 0.5x - 1) x∈(0,2)
所以E就在线段AC上，且不与AC重合。
因此D(x,0)
S(x) =△DCE面积 = 1/2 * |DE| * |OD| = 1/2 * (1 - 0.5x)x = 1/4 * x(2-x)
S(x)为关于x的二次函数，且开口向下。
所以S(x)在顶点处取到极值，
由二次函数性质，Smax = S(1) = 1/4
所以△DCE面积最大时，D点坐标(1,0)

(3)
B(-1, 0)
C(0, -1)
所以直线BC解析式为：y = -x - 1
根据几何图像可知，
如果△ACP为等腰三角形，
则只可能是PC=AC
|AC| = √(2^2 + 1^2)=√5
所以设P(x, -x-1)
令PC^2 = AC^2
x^2 + x^2 = 5
x = ±√10 / 2
所以P点坐标为(√10 / 2 , -(√10 + 2)/ 2) 或 (-√10 / 2 , (√10 - 2)/ 2)

Answer 2

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