Question

已知,如图,在△ABC中,CD⊥AB,垂足为D,BE⊥AC,垂足为E,联结DE,点G、F分别是BC、DE的中点

已知,如图,在△ABC中,CD⊥AB,垂足为D,BE⊥AC,垂足为E,联结DE,点G、F分别是BC、DE的中点
求证：GF⊥DE

Answer 1

连接EF,DF.因为BE垂直AC，F为BC中点，可求得EF=BF=CF;同理可求得DF=BF=CF.
就得出EF=DF,因为G为中点，就求得FG垂直DE

Answer 2

作辅助线（连接DG、EG）构建Rt△BCD和Rt△BCE斜边上的中线，然后根据斜边上的中线等于斜边的一半求得DG=EG=
12BC，从而判定△DEG是等腰三角形；最后根据等腰三角形的“三线合一”的性质推知GF⊥DE．解答：证明：连接DG、EG．
∵CD⊥AB，点G是BC的中点，
∴在Rt△BCD中，DG=12BC（直角三角形的斜边上的中线是斜边的一半）．（2分）
同理，EG=12BC．（2分）
∴DG=EG（等量代换）．（1分）
∵F是DE的中点，
∴GF⊥DE．（2分）作辅助线（连接DG、EG）构建Rt△BCD和Rt△BCE斜边上的中线，然后根据斜边上的中线等于斜边的一半求得DG=EG=
12BC，从而判定△DEG是等腰三角形；最后根据等腰三角形的“三线合一”的性质推知GF⊥DE．解答：证明：连接DG、EG．
∵CD⊥AB，点G是BC的中点，
∴在Rt△BCD中，DG=12BC（直角三角形的斜边上的中线是斜边的一半）．（2分）
同理，EG=12BC．（2分）
∴DG=EG（等量代换）．（1分）
∵F是DE的中点，
∴GF⊥DE．