求解两道简单数学函数题
(1)\设函数f(x)=ax³-3x+1(x∈R),若对于x∈[-1,1],都有f(x)≥0成立,则实数a的值为___(2)若f(x)=-x²+2ax...
(1) \设函数f(x)=ax³-3x+1(x∈R),若对于x∈[-1,1],都有f(x)≥0成立,则实数a的值为___
(2) 若f(x)=-x²+2ax与g(x)=a/x+1在区间[1,+∞)上都是减函数,则a的取值范围是_____ 展开
(2) 若f(x)=-x²+2ax与g(x)=a/x+1在区间[1,+∞)上都是减函数,则a的取值范围是_____ 展开
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(1)(1)a=0时,-3x+1≥0在[-1,1]上不能恒成立
(2)a<0时,f’(x)=3ax^2-3<0,f(x)是减函数,其最小值为f(1).
若对x∈[-1,1],f(x)≥0恒成立,则需f(1)≥0
即a-3+1≥0 a≥2 又因a<0 所以此时无解.
(3)a>0时,
f(x)=ax^3-3x+1≥0恒成立,x∈[-1,1],
①x=0时,1≥0成立
②0<x≤1时,a≥(3x-1)/(x^3)
令g(x)= (3x-1)/(x^3),求导得g’(x)=(3x^3-(3x-1)•3x^2)/(x^6)=(-6x+3)/(x^4)
易知0<x<1/2时函数递增,1/2<x<1时递减,
所以g(x)最大值为g(1/2)=4 ∴a≥4
③-1≤x<0时,a≤(3x-1)/(x^3)
g(x)= (3x-1)/(x^3),求导得g’(x)=(-6x+3)/(x^4)
可知g(x)在-1<x<0时是增函数,其最小值为g(-1)=4
∴a≤4
由②知a≥4 ∴a=4.
综上知a=4.
(2)设x1,x2在区间[1,+∞)上,且x1<x2,由f(x)为减函数
得:f(x1)-f(x2)=(x2^2-x1^2)+2a(x1-x2)≥0
即(x2-x1)(x1+x2-2a)≥0
因为,x2-x1>0,所以
x1+x2-2a≥0
所以a≤(x1+x2)/2
所以a≤1
同理:g(x1)-g(x2)
=a/(x1+1)-a/(x2+1)
=a(x2-x1)/(x1+1)(x2+1)≥0
所以a≥0
结果,a的取值为【0,1】
当a=0时,g(x)=0,为常数函数
(2)a<0时,f’(x)=3ax^2-3<0,f(x)是减函数,其最小值为f(1).
若对x∈[-1,1],f(x)≥0恒成立,则需f(1)≥0
即a-3+1≥0 a≥2 又因a<0 所以此时无解.
(3)a>0时,
f(x)=ax^3-3x+1≥0恒成立,x∈[-1,1],
①x=0时,1≥0成立
②0<x≤1时,a≥(3x-1)/(x^3)
令g(x)= (3x-1)/(x^3),求导得g’(x)=(3x^3-(3x-1)•3x^2)/(x^6)=(-6x+3)/(x^4)
易知0<x<1/2时函数递增,1/2<x<1时递减,
所以g(x)最大值为g(1/2)=4 ∴a≥4
③-1≤x<0时,a≤(3x-1)/(x^3)
g(x)= (3x-1)/(x^3),求导得g’(x)=(-6x+3)/(x^4)
可知g(x)在-1<x<0时是增函数,其最小值为g(-1)=4
∴a≤4
由②知a≥4 ∴a=4.
综上知a=4.
(2)设x1,x2在区间[1,+∞)上,且x1<x2,由f(x)为减函数
得:f(x1)-f(x2)=(x2^2-x1^2)+2a(x1-x2)≥0
即(x2-x1)(x1+x2-2a)≥0
因为,x2-x1>0,所以
x1+x2-2a≥0
所以a≤(x1+x2)/2
所以a≤1
同理:g(x1)-g(x2)
=a/(x1+1)-a/(x2+1)
=a(x2-x1)/(x1+1)(x2+1)≥0
所以a≥0
结果,a的取值为【0,1】
当a=0时,g(x)=0,为常数函数
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(1)按f(x)=ax³-3x+1做(3次方):若a=0不可能满足条件
当a<0时f减函数,须f(1)≥0,a-2≥0,矛盾无解
当a>0时f的导函数g=3ax²-3,解g=0得x=根号(1/a)或-根号(1/a),又g(0)=-3<0,知当a≥1时,f(根号(1/a))是最小值,须f(根号(1/a))≥0,根号(1/a)<=1/2,a≥4;当a<1时,f(1)是最小值,须f(1)≥0,a-2≥0,矛盾无解。所以a≥4。
按f(x)=ax²-3x+1做(2次方):若a=0不可能满足条件
当a<0时,须f(1)≥0且须f(-1)≥0,a-2≥0,矛盾无解
当a>0时分3/(2a)≥1和3/(2a)<1两种情况,当3/(2a)≥1时须f(1)≥0,无解,
当3/(2a)<1时须f(3/(2a))≥0,即1-9/(4a)≥0,a≥9/4。所以a≥9/4。
(2)由f的减区间是[a,+∞)推出a<=1,由g是减函数知a>0,所以0<a<=1。谢谢评价
当a<0时f减函数,须f(1)≥0,a-2≥0,矛盾无解
当a>0时f的导函数g=3ax²-3,解g=0得x=根号(1/a)或-根号(1/a),又g(0)=-3<0,知当a≥1时,f(根号(1/a))是最小值,须f(根号(1/a))≥0,根号(1/a)<=1/2,a≥4;当a<1时,f(1)是最小值,须f(1)≥0,a-2≥0,矛盾无解。所以a≥4。
按f(x)=ax²-3x+1做(2次方):若a=0不可能满足条件
当a<0时,须f(1)≥0且须f(-1)≥0,a-2≥0,矛盾无解
当a>0时分3/(2a)≥1和3/(2a)<1两种情况,当3/(2a)≥1时须f(1)≥0,无解,
当3/(2a)<1时须f(3/(2a))≥0,即1-9/(4a)≥0,a≥9/4。所以a≥9/4。
(2)由f的减区间是[a,+∞)推出a<=1,由g是减函数知a>0,所以0<a<=1。谢谢评价
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