Question

如何证明：当x趋于0时，e^x-1与x是等价无穷小？谈下思路（具体构造什么函数…），谢谢！

嘿嘿…谢谢！不过我是高职，没学过这个展开式，下去我再看看。

Answer 1

利用泰勒展开式

e^x=1+x+x^2/2!+x^3/3!+...+x^n/n!+...
则e^x-1=x+x^2/2!+x^3/3!+...+x^n/n!+...
x趋于0
lim(e^x-1)/x=lim[1+x/2!+x^2/3!+...+x^(n-1)/n!+...]=1
所以是等价无穷小

Answer 2

求(e^x-1)/x ，当x趋于0时的极限
求极限时分子分母都要求一阶导数，分子为导数为e^x，在x趋于0时等于1
分母的导数为1
也就是当x趋于0时(e^x-1)/x的极限为1
因此得证

Answer 3

lim (x趋于0) e^x-1/x
用罗比达法则
得
lim (x趋于0) e^x =e^0=1
如果为1 的话 就说明是等价无穷小

ps 如果不 为 1 的话 就是 同阶无穷小
为 ∞ 的话 就是高阶
为 0 的话 就是 低阶

Answer 4

要证明这个，只需要证明e^x-1除以x在x趋近于0时，极限是一个常数k即可，具体证明用洛必达法则就可！

Answer 5

e^x-1 e^x
lim ------------------------- =lim ---------------- =1
x-0 x x-0 1

e^x-1与x是等价无穷小