Question

设椭圆方程为X^2+Y^2/4=1.过点M(0.1)的直线L交椭圆于点A,B两点,O为坐标原点,P满足OP向量=1/2(OA向量+OB向

设椭圆方程为X^2+Y^2/4=1.过点M(0.1)的直线L交椭圆于点A,B两点,O为坐标原点,P满足OP向量=1/2(OA向量+OB向量),N(1/2,1/2)当L绕M旋转时，求
(1)动点P的轨迹方程
（2）求|NP|的最大值和最小值

Answer 1

(1).解：
直线L过M(0,1)
当直线L⊥x轴时：OA+OB=0，则OP=0，则P点为原点(0,0)
当直线L不垂直x轴时：设L斜率为k，则直线L方程为：y=kx+1
联立椭圆4x²+y²=4和直线y=kx+1，得：
4x²+k²x²+1+2kx=4，即(k²+4)x²+2kx-3=0
则x1+x2=-2k/(k²+4)
则y1+y2=(kx1+1)+(kx2+1)=k(x1+x2)+2=-2k²/(k²+4)+2=8/(k²+4)
OA=(x1,y1)，OB=(x2,y2)，则OA+OB=(x1+x2,y1+y2)=(-2k/(k²+4),8/(k²+4))
则OP=1/2(OA+OB)=(-k/(k²+4),4/(k²+4))
即P点坐标为(-k/(k²+4),4/(k²+4))
令x=-k/(k²+4)，y=4/(k²+4)
............(思路：利用x/y=-k/4，x/(y-1)=1/k求解此参数方程，当然这里忽略了y=0和y=1，不过将前面的除法变成乘法就可以避免这个问题，之所以没有变，是为了让你了解如何解此参数方程，此过程不必写在解题过程中)
得：4x²+y²-y=0，即x²/(1/4)²+(y-1/2)²/(1/2)²=1
此方程为中心在(0,1/2)，长轴为1，短轴为1/2，交点在y轴的椭圆
动点P的轨迹方程为x²/(1/4)²+(y-1/2)²/(1/2)²=1
...........(此处判断不出椭圆也没关系，答案写4x²+y²-y=0依然算解答完毕)

(2).解：P点轨迹的参数方程为：x=1/4cosθ，y=1/2+1/2sinθ
则|PN|²=(x-1/2)²+(y-1/2)²
=(1/4cosθ-1/2)²+(1/2sinθ)²
=1/16cos²θ+1/4-1/4cosθ+1/4-1/4cos²θ ..........此处利用了sin²θ=1-cos²θ
=-3/16cos²θ-1/4cosθ+1/2
=-3/16(cos²θ+4/3cosθ)+1/2
=-3/16(cosθ+2/3)²+7/12
∵cosθ∈[-1,1]
则cosθ+2/3∈[-1/3,5/3]
则(cosθ+2/3)²∈[0,25/9]
则-3/16(cosθ+2/3)²∈[-25/48,0]
则-3/16(cosθ+2/3)²+7/12∈[1/16,7/12]
即|PN|²∈[1/16,7/12]
则|PN|∈[1/4,√21/6]
即|NP|的最大值为√21/6，最小值为1/4

Answer 2

P为AB中点，设A B 坐标为（X1,Y1）(X2,Y2)，
设L：Y=kx+1(斜率不存在时，P为原点)
则，X1方+Y1方/4=1
X2方+Y2方/4=1
相减得，（X1+X2）（X1-X2）+(Y1+Y2)(Y1-Y2)/4=0
化简得 k=-4X0/Y0 (x0 y0为P点坐标，K为L的斜率)
因为P在L上，所以 Y0=KX0+1
消去K得：Y0方+4X0方-Y0=0（即为P点轨迹）且K不存在时，P（0，0）也在轨迹上

2
将直线方程与椭圆方程联立，得一个一元二次方程，再得X1+X2=... X1X2=... Y1+Y2=... Y1Y2=...（自己算下吧）
所以，NP平方=（X0-1/2）方+（Y0-1/2）方=X0方+Y0方-（X0+Y0）+1/2
然后，X0=（x1+x2)/2 y0=(y1+y2)/2
然后带入 得NP的一个关于K的式子，之前那个一元二次方程的德尔塔要大于0 得K的取值范围
然后就可以得NP的最大最小值

不知道会不会比较复杂，不过圆锥曲线本来就是算算算

Answer 3

1)设A,B点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2)，则P的坐标为(x,y)。x=(x1+x2)/2,y=(y1+y2)/2设直线I的方程为y=kx+1则把A,B坐标带入椭圆方程得x1^2+y1^2/4=1; x2^2+y2^2/4=1两式相减得(x1+x2)(x1-x2)+(y1+y2)(y1-y2)/4=0将A,B坐标带入直线方程得y1=kx1+1; y2=kx2+1两式相减得y1-y2=k(x1-x2) 带入上式得(x1-x2)[(x1+x2)+(y1+y2)k/4]=0注意M点在椭圆里面因为椭圆于Y轴的交点为(0,-2)和(0,2)所以x1-x2不能为0即由上式可得(x1+x2)+(y1+y2)k/4=0;另外将y1=kx1+1 y2=kx2+1两式相加得y1+y2=k(x1+x2)+2得出k=(y1+y2-2)/(x1+x2)带入上式并整理得(x1+x2)^2+(y1+y2)^2/4=1/2即4x^2+y^2=1/2。即x^2+y^2/4=1/8为所求轨迹

Answer 4

+OB向量),N(1/2,1/2)当L绕

Answer 5

图和呢