Question

求解一道奥数题

平方数N分解质因数为n2×m2，N－1分解质因数为x×y3。（除n≠m，x≠y，其他数可以相等）求所有满足N条件的数中，最小的2个。
是n,m的平方，x乘以y的3次方。
请写详细一点。

Answer 1

N-1 = n^2*m^2 - 1 = (mn + 1)(mn - 1)
因为 N-1 = 3xy
依题意(mn+1)或(mn-1)为3的倍数
m=2，n=4时mn+1=9
N = 8^2 = 64
m=2，n=5时mn-1=9
N = 10^2 = 100

Answer 2

是n,m的平方，x乘以y的3次方吗？

Answer 3

N-1 = n^2*m^2 - 1 = (mn + 1)(mn - 1)
因为 N-1 = 3xy
依题意(mn+1)或(mn-1)为3的倍数
m=2，n=4时mn+1=9
N = 8^2 = 64
m=2，n=5时mn-1=9
N = 10^2 = 100
就是这样的啦!

Answer 4

N= n^2*m^2 N-1 = xy^3
n、m对称，可设m>n
分解质因数，所以n、m、x、y都为质数
假设N为奇数，则nm为奇数，设nm=2k+1
N-1 =(nm-1)(nm+1)=4k(k+1)=xy^3
xy^3能被4整除
若x=2则xy^3不能被4整除，矛盾，所以y=2
N-1 =4k(k+1)=8x
k(k+1)=2x
x为质数，所以k=1 k+1=2x 或有k=2 k+1=x （x为质数且不等于2，所以x>2）
所以x=3 k=2
代回原式，nm=5 与n、m都为质数矛盾。所以N不可能为奇数。

假设N为偶数，则n=2，N-1为奇数。N-1= 4m^2-1=(2m-1)(2m+1)=xy^3
所以2m-1为奇数，2m+1为奇数。
2m-1与2m+1互质
所以必有2m-1=1 2m+1=xy^3 (m=1，不成立) 或者2m-1=x 2m+1=y^3 （否则2m-1与2m+1将有公约数y）
所以有以下条件：
x+2=y^3
x为质数 y为质数 (x+1)/2为质数

这个实在太麻烦了，用计算机算得：当y=1291、1297时以上条件满足

所以我在想，是不是题目错了？真的是质因数分解吗？？

Answer 5

我假定你的意思是m,n,x,y都是素数。

若m,n都是奇素数，则mn+1,mn-1都是偶数且其中一个能被4整队，从而y=2(因N-1被8整除，而其因子分解中仅有一个y^3，a^b表示a的b次幂)。设mn-1=2a,mn+1=2b, 有：b>a 从而b不是1,从而b是一个奇素数，而a=1(否则N-1不能分解为型如xy^3)。从而 mn-1=2 , 从而mn=3矛盾于m,n都是素数的假设。

若m,n中一个是2, 设n=2, 则N=4m, 4m-1=xy^3。最后那个方程的最小解(m,x,y皆是奇素数，x\ne y) 没有什么简单方法，只能一个一个的试m值。4*61-1=3*3^3 (差一点)。试到83也没见有解。不过我相信有解。