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求解一道奥数题
平方数N分解质因数为n2×m2,N-1分解质因数为x×y3。(除n≠m,x≠y,其他数可以相等)求所有满足N条件的数中,最小的2个。是n,m的平方,x乘以y的3次方。请写...
平方数N分解质因数为n2×m2,N-1分解质因数为x×y3。(除n≠m,x≠y,其他数可以相等)求所有满足N条件的数中,最小的2个。
是n,m的平方,x乘以y的3次方。
请写详细一点。 展开
是n,m的平方,x乘以y的3次方。
请写详细一点。 展开
5个回答
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N-1 = n^2*m^2 - 1 = (mn + 1)(mn - 1)
因为 N-1 = 3xy
依题意(mn+1)或(mn-1)为3的倍数
m=2,n=4时mn+1=9
N = 8^2 = 64
m=2,n=5时mn-1=9
N = 10^2 = 100
因为 N-1 = 3xy
依题意(mn+1)或(mn-1)为3的倍数
m=2,n=4时mn+1=9
N = 8^2 = 64
m=2,n=5时mn-1=9
N = 10^2 = 100
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是n,m的平方,x乘以y的3次方吗?
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N-1 = n^2*m^2 - 1 = (mn + 1)(mn - 1)
因为 N-1 = 3xy
依题意(mn+1)或(mn-1)为3的倍数
m=2,n=4时mn+1=9
N = 8^2 = 64
m=2,n=5时mn-1=9
N = 10^2 = 100
就是这样的啦!
因为 N-1 = 3xy
依题意(mn+1)或(mn-1)为3的倍数
m=2,n=4时mn+1=9
N = 8^2 = 64
m=2,n=5时mn-1=9
N = 10^2 = 100
就是这样的啦!
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N= n^2*m^2 N-1 = xy^3
n、m对称,可设m>n
分解质因数,所以n、m、x、y都为质数
假设N为奇数,则nm为奇数,设nm=2k+1
N-1 =(nm-1)(nm+1)=4k(k+1)=xy^3
xy^3能被4整除
若x=2则xy^3不能被4整除,矛盾,所以y=2
N-1 =4k(k+1)=8x
k(k+1)=2x
x为质数,所以k=1 k+1=2x 或有k=2 k+1=x (x为质数且不等于2,所以x>2)
所以x=3 k=2
代回原式,nm=5 与n、m都为质数矛盾。所以N不可能为奇数。
假设N为偶数,则n=2,N-1为奇数。N-1= 4m^2-1=(2m-1)(2m+1)=xy^3
所以2m-1为奇数,2m+1为奇数。
2m-1与2m+1互质
所以必有2m-1=1 2m+1=xy^3 (m=1,不成立) 或者2m-1=x 2m+1=y^3 (否则2m-1与2m+1将有公约数y)
所以有以下条件:
x+2=y^3
x为质数 y为质数 (x+1)/2为质数
这个实在太麻烦了,用计算机算得:当y=1291、1297时以上条件满足
所以我在想,是不是题目错了?真的是质因数分解吗??
n、m对称,可设m>n
分解质因数,所以n、m、x、y都为质数
假设N为奇数,则nm为奇数,设nm=2k+1
N-1 =(nm-1)(nm+1)=4k(k+1)=xy^3
xy^3能被4整除
若x=2则xy^3不能被4整除,矛盾,所以y=2
N-1 =4k(k+1)=8x
k(k+1)=2x
x为质数,所以k=1 k+1=2x 或有k=2 k+1=x (x为质数且不等于2,所以x>2)
所以x=3 k=2
代回原式,nm=5 与n、m都为质数矛盾。所以N不可能为奇数。
假设N为偶数,则n=2,N-1为奇数。N-1= 4m^2-1=(2m-1)(2m+1)=xy^3
所以2m-1为奇数,2m+1为奇数。
2m-1与2m+1互质
所以必有2m-1=1 2m+1=xy^3 (m=1,不成立) 或者2m-1=x 2m+1=y^3 (否则2m-1与2m+1将有公约数y)
所以有以下条件:
x+2=y^3
x为质数 y为质数 (x+1)/2为质数
这个实在太麻烦了,用计算机算得:当y=1291、1297时以上条件满足
所以我在想,是不是题目错了?真的是质因数分解吗??
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我假定你的意思是m,n,x,y都是素数。
若m,n都是奇素数,则mn+1,mn-1都是偶数且其中一个能被4整队,从而y=2(因N-1被8整除,而其因子分解中仅有一个y^3,a^b表示a的b次幂)。设mn-1=2a,mn+1=2b, 有:b>a 从而b不是1,从而b是一个奇素数,而a=1(否则N-1不能分解为型如xy^3)。从而 mn-1=2 , 从而mn=3矛盾于m,n都是素数的假设。
若m,n中一个是2, 设n=2, 则N=4m, 4m-1=xy^3。最后那个方程的最小解(m,x,y皆是奇素数,x\ne y) 没有什么简单方法,只能一个一个的试m值。4*61-1=3*3^3 (差一点)。试到83也没见有解。不过我相信有解。
若m,n都是奇素数,则mn+1,mn-1都是偶数且其中一个能被4整队,从而y=2(因N-1被8整除,而其因子分解中仅有一个y^3,a^b表示a的b次幂)。设mn-1=2a,mn+1=2b, 有:b>a 从而b不是1,从而b是一个奇素数,而a=1(否则N-1不能分解为型如xy^3)。从而 mn-1=2 , 从而mn=3矛盾于m,n都是素数的假设。
若m,n中一个是2, 设n=2, 则N=4m, 4m-1=xy^3。最后那个方程的最小解(m,x,y皆是奇素数,x\ne y) 没有什么简单方法,只能一个一个的试m值。4*61-1=3*3^3 (差一点)。试到83也没见有解。不过我相信有解。
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