Question

一道有关韦达定理的题

不解方程，求做一个新方程，使它的两个实数根的积与两根的平方和分别是先下面方程的两个根：x^2-3x-10=0

Answer 1

解：x²－3x－10＝0
（x－5）（x＋2）＝0
x1＝5, x2＝－2
设所求的方程为x²＋bx＋c＝0，它的两个根分别为：x1′、x2′。
x1′·x2′＝－2＝c, x1′²＋x2′²＝5
（x1′＋x2′）²－2x1′x2′＝5
（x1′＋x2′）²＝5＋2x1′x2′＝5＋2×（－2）＝1
∴ x1′＋x2′＝±1＝b
∴x²±x－2＝0 为所要求的方程。（其实，这个方程只有两个虚根）

Answer 2

此新方程无解哦。推理如下：
原方程可变为：（x-5）(x+3)=0，解为：x1=5,x2=-3。
设新方程的两个实数为：y1、y2.
则因为两个实数根的积与两根的平方和分别是-3和5，所以
y1*y2=-3，y1^2+y2^2=5
.则 （y1+y2）^2=y1^2+y2^2+2y1*y2=5-6=-1
我们都知道两个数的和的平方大于等于1，所以不可能存在两个实数根的积与两根的平方和分别是-3和5。