Question

证明:映射f:X→Y是双射当且仅当对于X的任一子集A有f(X-A)=Y-f(A)

Answer 1

证明必要性，对于f（X-A）的任一元素y，则存在不属于A的元素x，有y=f（x），由于f是单射，故y不可能属于f（A），故y属于Y-f（A），于是f（X-A）包含于Y-f（A）。

对于Y-f（A）的任一元素y，y不属于f（A），由于f是满射，则必存在x不属于A，即属于X-A，有y=f（x），则y属于f（X-A），故Y-f（A）包含于f（X-A），于是f（X-A）=Y-f（A）。

如果不是满射，则存在Y中的元素y，对任意X中的元素x，y≠f（x），即y不属于f（X），此时取A=空集，f（X-A）=f（X），Y-f（A）=Y，但f（X）≠Y，这是因为y属于Y但不属于f（X），即f（X-A）≠Y-f（A）。

性质

一、根据子集的定义，我们知道A⊆A。也就是说，任何一个集合是它本身的子集。

二、对于空集∅，我们规定∅⊆A，即空集是任何集合的子集。

说明：若A=∅，则∅⊆A仍成立。

证明：给定任意集合A，要证明∅是A的子集。这要求给出所有∅的元素是A的元素；但是，∅没有元素。对有经验的数学家们来说，推论“∅没有元素，所以∅的所有元素是A 的元素"是显然的；但对初学者来说，有些麻烦。 

Answer 2

证明 必要性,对于f(X-A)的任一元素y,则存在不属于A的元素x,有y=f(x),由于f是单射,故y不可能属于f(A),故y属于Y-f(A),于是f(X-A)包含于Y-f(A);
对于Y-f(A)的任一元素y,y不属于f(A),由于f是满射,则必存在x不属于A，即属于X-A,有y=f(x),则y属于f(X-A),故Y-f(A) 包含于f(X-A),于是f(X-A)=Y-f(A).
充分性,反证法,如果对于X的任一子集A有f(X-A)=Y-f(A),但f:X→Y不是双射,此时f或不是单射,或不是满射,如果不是单射,则存在X中的两个不同元素x1,x2有y=f(x1)= f(x2)，取A={ x1},则x2不属于A，y= f(x2)属于f(X-A),但y=f(x1) 又属于f(A),即y不属于Y-f(A)，故f(X-A)≠Y-f(A)；
如果不是满射,则存在Y中的元素y,对任意X中的元素x,y≠f(x)，即y不属于f(X),此时取A=空集,f(X-A)= f(X),Y-f(A)=Y,但f(X)≠Y，这是因为y属于Y但不属于f(X),即f(X-A)≠Y-f(A).
也即f:X→Y不是双射,则存在X的子集A有f(X-A)≠Y-f(A).