Question

高二数学 急！！！

已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1(-c,0),F2(c,0),若椭圆上存在点P(异于长轴的端点) ,使得csin∠PF1F2=asin∠PF2F1,则该椭圆离心率的取值范围是？请写下具体过程，谢谢！

Answer 1

e=c/a=sin∠PF2F1/sin∠PF1F2=PF1/PF2 (利用正弦定理）,
附：【正弦定理：对于任意三角形ABC，都有a/sinA=b/sinB=c/sinC】
所以PF1=ePF2
又e=2c/2a=2c/(PF1+PF2)=2c/(ePF2+PF2)=2c/[(e+1)PF2],
整理得PF2=2c/[e(e+1)]
又a-c≤PF2≤a+c,
（点P在左端点时PF2取到最小值a-c，在右端点时PF2取到最大值a+c）
即a-c≤2c/[e(e+1)] ≤a+c,即1-e≤2e/[e(e+1)] ≤1+e
∴√2-1≤e<1
综上e的范围为[√2-1,1)