Question

一个九年级数学问题：

如图，AB是⊙O的直径，M是⊙O上一点，MN⊥AB，垂足为N，P、Q分别是AM、BM上一点（不与端点重合），如果∠MNP=∠MNQ，下面结论：①∠1=∠2；②∠P+∠Q=180°;③∠Q=∠PMN; ④PM=QM;⑤MN²=PN•QN; 其中正确的是:
A. ①②③ B.①③⑤ C.④⑤ D.①②⑤
要有解答过程或说明清楚每个结论为什么正确或错误。 好的另加分，分没有问题，关键题目做得好。要快。

Answer 1

延长QN交圆O于C，延长MN交圆O于D，如图

MN⊥AB，∠MNP=∠MNQ，则∠1=∠2，所以①对；

因为AB是⊙O的直径，MN⊥AB， 弧AM=弧DA，

由∠1=∠2，得P，C关于AB对称， 弧PA=  弧AC，

 弧PD= 弧MC，所以∠Q=∠PMN，③对；

∠P+∠PMN＜180°，所以∠P+∠Q＜180°，②错；

因为∠MNP=∠MNQ，∠Q=∠PMN，

所以△PMN∽△MQN，则有MN2=PN•QN，所以⑤对．

④更不用说.. 一看就不是.

故选①③⑤ ． 选择B。

Answer 2

由于∠MNP=∠MNQ，MN⊥AB，故∠1=∠2显然正确，①∠1=∠2应选
由于PQ异与AB，所以弧PABQ为优弧（大于半圆的弧），其所对圆周角PMQ必然>180°，所以在4边形MPNQ中，∠PMQ>180°，那么∠P+∠Q<180°(4边形内角和为360°)，②∠P+∠Q=180°不选
至此可以判断B为正确答案了
下面分析后面的
3.延长QN交圆与C，延长MN交圆与D，由于∠1=∠2，所以∠1=∠ANC，所以弧AP=弧AC，由于MN⊥AB，所以弧AM=弧AD，所以弧CD=弧PM，弧CM=弧PD，等弧所对圆周角相等，所以③∠Q=∠PMN正确
4.由于3正确，△PMN与△QMN相似，MN不等于NQ所以对应边PM不等于MQ，④PM=QM错误
5.还是由于刚才△PMN与△QMN相似，对应边成比例，所以MN/NQ=PN/MN,所以⑤MN2=PN?QN
正确
选B

Answer 3

b