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3. 解: 由1是特征值, 所以 |A-E| = k - 1 = 0, 所以 k = 1.
解方程组 (A-E)X = 0, 得属于特征值1的特征向量为: k(1, 0, -1)^T, k为任意非零常数.
5. 由已知 (b1,b2,b3)=(a1,a2,a3)A, 矩阵A是一个3*3方阵, 三行分别为: 1,1,2; 1,2,3; 1,3,-1. 则A的行列式 |A| = -7 !=0, 所以A可逆.
所以 (b1,b2,b3)A^-1 = (a1,a2,a3) , 即 a1,a2,a3也可由 b1,b2,b3 线性表示, 故两个向量组等价, 故它们有相同的秩.
再由已知, a1,a2,a3线性无关, 所以其秩为3 . 所以 b1,b2,b3的秩也是3, 故b1,b2,b3线性无关.
解方程组 (A-E)X = 0, 得属于特征值1的特征向量为: k(1, 0, -1)^T, k为任意非零常数.
5. 由已知 (b1,b2,b3)=(a1,a2,a3)A, 矩阵A是一个3*3方阵, 三行分别为: 1,1,2; 1,2,3; 1,3,-1. 则A的行列式 |A| = -7 !=0, 所以A可逆.
所以 (b1,b2,b3)A^-1 = (a1,a2,a3) , 即 a1,a2,a3也可由 b1,b2,b3 线性表示, 故两个向量组等价, 故它们有相同的秩.
再由已知, a1,a2,a3线性无关, 所以其秩为3 . 所以 b1,b2,b3的秩也是3, 故b1,b2,b3线性无关.
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