Question

高数中高阶导数,dx\dy=1\y',d^2x\dy^2=-y''\3(y')^2

如果直接求（1／y′）′=-y"/(y')^2是对y′的求导，哪怎样才算对y的求导??

Answer 1

这里是视x=g(y)，x是因变量，y是自变量，来求函数x关于自变量y的二阶导数。
已知条件dx/dy=1/y'是函数x=g(y)与它的反函数y=f(x)的导数关系，题目的意思是从这个条件出发，来求函数x关于自变量y的二阶导数。
解决此题的关键是，注意是对哪一个变量求导；要用到复合函数的求导方法。
具体解答如下：
d^2x/dy^2
=d[dx/dy]/dy（对一阶导数再求一次导数）
=d[1/y']/dy（代入条件）
={d[1/y']/dx}*[dx/dy]（因为1/y'中的y'是函数y=f(x)的导数，是x的函数，所以1/y'当然也是x的函数，这个x的函数现在要对y求导，则需用复合函数的求导方法，对1/y'先对x求导，再对y求导）
={[-1/y'^2]*y''}*[dx/dy]（这里{[-1/y'^2]*y''}的得到又一次用了复合函数的求导方法：对[1/y']先对y'求导，y'再对x求导）
={[-1/y'^2]*y''}*[1/y']（代入条件）
=-y''/（y')^3。

追问

能不能理解为二阶导是一个求一个复合函数的导数，然后y'是个中间函数，问题是y'的导数要怎么求啊

追答

“能不能理解为二阶导是一个求一个复合函数的导数，然后y'是个中间函数，问题是y'的导数要怎么求啊”

这句话反映的总体思路是对的，提出的问题一旦解决，则这个问题就完全清楚了。

是这样，

二阶导确实是求一个复合函数的导数，y’是第一个中间变量，x是第二个中间变量，这是因为y’=y’（x），然后是x=x（y）是最终的求导变量y的函数。也就是说，是三个函数的两层复合。

于是应该是，对于dx/dy=1\y’先对y’求导，然后y’对x求导，最后x对y求导。

从而可以理解，

之前的“如果直接求（1／y′）′=-y"/(y')^2是对y′的求导”这句话应该是，

“（1／y′）′= - y" / (y ' )^2是对x的求导”【这里已经有了一次复合的求导过程】