Question

已知f1f2分别为椭圆x²/a²+y²/b²=1(a＞b＞0)的两个焦点，P为椭圆上一点且向量pf

已知f1f2分别为椭圆x²/a²+y²/b²=1(a＞b＞0)的两个焦点，P为椭圆上一点且向量pf1×向量pf2=c²,求e的范围

Answer 1

设f1(-c,0)、f2(c,0)，P(x,y)；则 向量Pf1={-c-x,-y}、Pf2={c-x,-y}；
向量Pf●P负f2=(-c-x)*(c-x)+y*y=x²+y²-c²=c²，即 x²+y²=2c²；
点P须在圆心在原点、半径为 c√2 的圆上；参考椭圆图形可知，存在 P点的条件是 b≤c√2≤a；
b²≤2c²≤a²，a²-c²≤2c²≤a²，∴e=c/a≤√(1/2)=√2/2，e≥√(1/3)=√3/3；即 √3/3≤e≤√2/2；