Question

在平面直角坐标系xOy中,已知点A(6,0),点B(0,6),动点C在以半径为3的⊙O上,连接OC

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Answer 1

解：（1）∵点A（6，0），点B（0，6），
∴OA=OB=6，
∴△OAB为等腰直角三角形，
∴∠OBA=45°，
∵OC∥AB，
∴当C点在y轴左侧时，∠BOC=∠OBA=45°；当C点在y轴右侧时，∠BOC=180°﹣∠OBA=135°；
（2）∵△OAB为等腰直角三角形，
∴AB=OA=6，
∴当点C到AB的距离最大时，△ABC的面积最大，
过O点作OE⊥AB于E，OE的反向延长线交⊙O于C，如图，此时C点到AB的距离的最大值为CE的长，
∵△OAB为等腰直角三角形，
∴AB=OA=6，
∴OE=AB=3，
∴CE=OC+CE=3+3，△ABC的面积=CE•AB=×（3+3）×6=9+18．
∴当点C在⊙O上运动到第三象限的角平分线与圆的交点位置时，△ABC的面积最大，最大值为9+18．
（3）①如图，过C点作CF⊥x轴于F，
∵OC∥AD，
∴∠ADO=∠COD=90°，
∴∠DOA+∠DAO=90°
而∠DOA+∠COF=90°，
∴∠COF=∠DAO，
∴Rt△OCF∽Rt△AOD，
∴=，即=，解得CF=，
在Rt△OCF中，OF==，
∴C点坐标为（﹣，）；
②直线BC是⊙O的切线．理由如下：
在Rt△OCF中，OC=3，OF=，
∴∠COF=30°，
∴∠OAD=30°，
∴∠BOC=60°，∠AOD=60°，
∵在△BOC和△AOD中
，
∴△BOC≌△AOD（SAS），
∴∠BCO=∠ADC=90°，
∴OC⊥BC，
∴直线BC为⊙O的切线．