Question

已知等比数列{an}的前n项和为Sn,且an是Sn与1的等差中项，等差数列{bn}满足b1=a1，

b4=S3， （1）求数列{an}，{bn}的通项公式 （2）设Cn=1/bn*bn+1 求前n项和的取值范围

Answer 1

解：
(1)
由an是Sn与2的等差中项得2an=Sn +2
n=1时，2a1=S1+2=a1+2 a1=2
n=2时，2a2=S2+2=a1+a2+2 a2=a1+2=2+2=4

n=1时，a1=2
n≥2时，2an=Sn+2 2a(n-1)=S(n-1)+2
2an-2a(n-1)=Sn+2 -S(n-1)-2=Sn-S(n-1)=an
an=2a(n-1)
an/a(n-1)=2，为定值。
数列{an}是以2为首项，2为公比的等比数列，通项公式an=2ⁿ
x=bn y=b(n+1)代入直线方程：b(n+1)=bn +2
b(n+1)-bn=2
又b1=2
数列{bn}是以2为首项，2为公差的等差数列。通项公式bn=2n。
(3)
cn=anbn=2n×2ⁿ
Tn=a1b1+a2b2+...+anbn
=2(1×2+2×2²+3×2³+...+n×2ⁿ)
2Tn=2[1×2²+2×2³+...+(n-1)×2ⁿ+n×2^(n+1)]
Tn-2Tn=-Tn=2[2+2²+...+2ⁿ -n×2^(n+1)]
=2[2×(2ⁿ-1)/(2-1) -n×2^(n+1)]
=2[2^(n+1) -2 -n×2^(n+1)]
=2[(1-n)×2^(n+2) -2]
=(1-n)×2^(n+3) -4
Tn=(n-1)×2^(n+3) +4。