数学分析证明
F是R上在任意区间内非常值的连续函数。满足:F[x]<=1/(2δ)*∫[x-δ,x+δ]F[t]dt.求证：F是凸函数。...
F是R上在任意区间内非常值的连续函数。满足:
F[x]<=1/(2δ)* ∫ [x-δ,x+δ] F[t]dt.
求证：F是凸函数。 展开
F[x]<=1/(2δ)* ∫ [x-δ,x+δ] F[t]dt.
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若F不是凸的, 那么存在a<c<b使得F(c)>L(c), 其中y=L(x)是过(a,F(a)), (b,F(b))的直线.
令G(x)=F(x)-L(x), 那么G(a)=G(b)=0, 且在[a,b]上max G(x)>=G(c)>0.
假定d∈(a,b)是G的最大值点, 取δ=min{d-a,b-d}, 已知条件和最大性得到的不等号方向相反, 所以只能取等号, 即G在这个区间上是常数, 和G(d)>G(a)=G(b)矛盾.
令G(x)=F(x)-L(x), 那么G(a)=G(b)=0, 且在[a,b]上max G(x)>=G(c)>0.
假定d∈(a,b)是G的最大值点, 取δ=min{d-a,b-d}, 已知条件和最大性得到的不等号方向相反, 所以只能取等号, 即G在这个区间上是常数, 和G(d)>G(a)=G(b)矛盾.
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