Question

一道高三数学题，关于抛物线的

某木匠为一段抛物线设计一个可以支撑它的“十字架”，现以其顶点为原点O，对称轴为y轴，过O垂直与y轴方向为x轴，如图所示.经测量，抛物线上的点M坐标为（4,4）（分米），按照设计要求，在抛物线上取两个点AB（不平行于x轴），AB的垂直平分线必须经过y轴定点P（0,6），并交抛物线下端于Q点，AB,PQ就是要制作的十字架（AB.PQ分别是两根完整的木棍） （1）试确定抛物线的标准方程，并求AB中点C的轨迹方程，（2）试问，该木匠需要准备的木棍材料最长是多长（分米）

Answer 1

设抛物线方程是x^2=2py, M(4,4)代入得到16=2p*4, p=2
故抛物线方程是x^2=4y.
设A坐标是(x1,y1),B(x2,y2),C(x,y),则有x1+x2=2x,y1+y2=2y
x1^2=4y1, x2^2=4y2
二式相减得到(x1+x2)(x1-x2)=4(y1-y2),故有K(AB)=(y1-y2)/(x1-x2)=2x/4=x/2
又K(AB)*K(PC)=-1,故有x/2*(y-6)/x=-1,即有y-6=-2, y=4
即C的轨迹方程是直线y=4.
某木匠为一段抛物线设计一个可以支撑它的“十字架”，现以其顶点为原点O，对称轴为y轴，过O垂直与y轴方向为x轴，如图所示.经测量，抛物线上的点M坐标为（4,4）（分米），按照设计要求，在抛物线上取两个点AB（不平行于x轴），AB的垂直平分线必须经过y轴定点P（0,6），并交抛物线下端于Q点，AB,PQ就是要制作的十字架（AB.PQ分别是两根完整的木棍） （1）试确定抛物线的标准方程，并求AB中点C的轨迹方程，（2）试问，该木匠需要准备的木棍材料最长是多长（分米）

Answer 2

设抛物线方程是x^2=2py, M(4,4)代入得到16=2p*4, p=2
故抛物线方程是x^2=4y.
设A坐标是(x1,y1),B(x2,y2),C(x,y),则有x1+x2=2x,y1+y2=2y
x1^2=4y1, x2^2=4y2
二式相减得到(x1+x2)(x1-x2)=4(y1-y2),故有K(AB)=(y1-y2)/(x1-x2)=2x/4=x/2
又K(AB)*K(PC)=-1,故有x/2*(y-6)/x=-1,即有y-6=-2, y=4
即C的轨迹方程是直线y=4.

追问

第二问呢

追答

设C坐标是(m,4),则有k(AB)=m/2,AB方程是y-4=m/2(x-m),即有y=m/2x-m^2/2+4
代入到抛物线中有x^2=4(m/2x-m^2/2+4)
即有x^2-2mx+2m^2-16=0
x1+x2=2m,x1x2=2m^2-16
那么AB=根号(1+k^2)*|x2-x1|=根号(1+m^2/4)*根号[4m^2-4(2m^2-16)]=根号(1+m^2/4)*(64-4m^2)
k(PC)=-1/k(AB)=-2/m
那么PC方程是y-6=-2/mx,即有y=-2/mx+6,代入到抛物线 中有x^2=4(-2/mx+6)
即有x^2+8/mx-24=0
解得Q点坐标(x1,y1)
然后用PQ=根号[(x1-0)^2+(y1-6)^2]=...
最后用AB+PQ=....得到一个关于m的方程,最后就得到最大值了.

追问

谢谢~

Answer 3

某木匠为一段抛物线设计一个可以支撑它的“十字架”，现以其顶点为原点O，对称轴为y轴，过O垂直与y轴方向为x轴，如图所示.经测量，抛物线上的点M坐标为（4,4）（分米），按照设计要求，在抛物线上取两个点AB（不平行于x轴），AB的垂直平分线必须经过y轴定点P（0,6），并交抛物线下端于Q点，AB,PQ就是要制作的十字架（AB.PQ分别是两根完整的木棍） （1）试确定抛物线的标准方程，并求AB中点C的轨迹方程，（2）试问，该木匠需要准备的木棍材料最长是多长（分米）