Question

(1+√x)的n次方展开式中,第5.6.7项的二次项系数成等差数列,求展开式中系数最大的项

Answer 1

先科普下，那个不叫二次项系数，而是叫二项式系数。

这三项的二项式系数分别是 C(n，4)、C(n，5)、C(n，6) ，
因此由已知得 C(n，4)+C(n，6)=2C(n，5) ，
即 n(n-1)(n-2)(n-3)/24+n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)(n-5)/720=2n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)/120 ，
舍去 n=0、1、2、3 的根（就是两边约去因子 n(n-1)(n-2)(n-3) ），
可得 n=7 或 n=14 ，
当 n=7 时，展开式有 8 项，中间两项的系数相等且最大，
这两项分别为 T4=C(7，3)*(√x)^3=35*x^(3/2) ，T5=C(7，4)*(√x)^4=35x^2 ；
当 n=14 时，展开式有 15 项，中间一项的系数最大，
这一项是 T8=C(14，7)*(√x)^7=3432*x^(7/2) 。