Question

∫xλe^-λxdx

∫xλe^-λxdx这个怎么积分啊？麻烦又详细步骤

Answer 1

∫xλe^(-λx) dx=-∫xd[e^(-λx)]=-x*e^(-λx)+∫e^(-λx)dx=-xe^(-λx)-(1/λ)∫e^(-λx) d(-λx)
=-xe^(-λx)-(1/λ)e^(-λx)+C=-[x+(1/λ)]e^(-λx)+C；

追问

每一步是怎样得到的啊？利用什么公式，麻烦了。

追答

对特殊函数 e^x，其导数仍是 e^x，函数 e^x 的积分也还是 e^x，e^(-x) 的积分则等于-e^(-x)；
∫e^x dx=e^x +C，∫e^(-x) dx=∫e^t d(-t)=-∫e^t dt=-e^t +C=-e^(-x)+C；
∫λe^(-λx) dx=-∫e^(-λx) d(-λx)=-e^(-λx) +C；
∫xλe^(-λx) dx＝∫x d[-e^(-λx)]＝（运用分部积分法）＝x*[-e^(-λx)]－∫[-e^(-λx)] d(x)
＝-xe^(-λx)＋∫e^(-λx) dx＝-xe^(-λx)－(1/λ)∫e^(-λx) d(-λx)＝-xe^(-λx)-(1/λ)e^(-λx) +C；