Question

常微分y'+4y+y*y=0和dy/dx=x*x*x*y*y*y-x*y的解

分别是两个题，朋友帮下忙，谢谢😊
朋友们会的帮帮忙，再次感谢

Answer 1

解：（1）显然，y=0是原方程的解
当y≠0时，
∵y'+4y+y^2=0

==>dy/dx=-y(y+4)
==>dy/(y(y+4))=-dx
==>[1/(y+4)-1/y]dy=4dx
==>ln│y+4│-ln│y│=4x+ln│C│ (C是常数)
==>ln│(y+4)/y│=4x+ln│C│
==>(y+4)/y=Ce^(4x)
==>y=Cye^(4x)-4
∴y=Cye^(4x)-4是原方程的解
故原方程的通解是y=0和y=Cye^(4x)-4。
（2）显然，y=0是原方程的解
当y≠0时，
令z=1/y^2，则y'=-y^3z'/2
代入原方程，化简得 z'-2xz=-2x^3.........(1)
∵方程(1)是一阶线性微分方程
∴由一阶线性微分方程通解公式，得方程(1)的通解是
z=Ce^(x^2)+x^2+1 (C是常数)
==>1/y^2=Ce^(x^2)+x^2+1
==>(Ce^(x^2)+x^2+1)y^2=1
则(Ce^(x^2)+x^2+1)y^2=1是原方程的解
故原方程的通解是y=0和(Ce^(x^2)+x^2+1)y^2=1。