Question

已知函数f(x)=(ax^2+bx+c)e^x 且f(0)=1,f(1)=0

已知函数f(x)=(ax^2+bx+c)e^x 且f(0)=1,f(1)=0
（1）若f(x)在区间[0,1]上单调递减，求实数a的取值范围
（2）当a=0时，是否存在实数m使不等式2f(x)+4xe^x≥mx+1≥-x^2+4x+1对任意x∈R恒成立?若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由

求大神 !!!

Answer 1

已知函数f(x)=(ax^2+bx+c)e^x 且f(0)=1,f(1)=0
（1）若f(x)在区间[0,1]上单调递减，求实数a的取值范围
（2）当a=0时，是否存在实数m使不等式2f(x)+4xe^x≥mx+1≥-x^2+4x+1对任意x∈R恒成立?若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由
（1）解析：∵函数f(x)=(ax^2+bx+c)e^x且f(0)=1,f(1)=0
∴f(0)=c=1，f(1)=(a+b+1)e=0==>a+b=-1
∵f(x)在区间[0,1]上单调递减
f(x)=(ax^2-(a+1)x+1)e^x==>f’(x)=(ax^2+(a-1)x-a)e^x
∴f’(0)=-a<=0==>a>=0
f’(1)=(a-1)e<=0==>a<=1
∴实数a的取值范围为0<=a<=1
(2)解析：令a=0，则f(x)=(1-x)e^x
∵不等式2f(x)+4xe^x≥mx+1≥-x^2+4x+1对任意x∈R恒成立
2(1-x)e^x+4xe^x≥mx+1≥-x^2+4x+1
2e^x+2xe^x≥mx+1≥-x^2+4x+1
设g(x)=2e^x+2xe^x==>g’(x)=(4+2x)e^x
h(x)= -x^2+4x+1==> h’(x)=4-2x
令(4+2x)e^x=4-2x==>x=0
此时，h’(0)=g’(0)=4
令m=4，满足题意不等式2f(x)+4xe^x≥4x+1≥-x^2+4x+1对任意x∈R恒成立

追问

第一问是“单调”递减哦 ，你只求两个端点的导数值是不可以的吧 ?

追答

f(x)在区间[0,1]上单调递减是已知条件，求二个端点的导数值当然可以