Question

从曲线x^2-y^2=1上一点Q引直线x+y=2的垂线，垂足为N，求 线段的中点p的轨迹方程

Answer 1

设 Q 坐标 (x0, y0)

x + y = 2 斜率为 -1
所以 与其垂直的直线 ON 斜率为 1

ON 方程为
y - y0 = x - x0

联立
y-y0 = x- x0
x + y = 2

解出 N 点坐标
x = 1 + (x0 -y0)/2
y = 1 + (y0 -x0)/2

所以 P 点坐标为
x = [1 + (x0 -y0)/2 + x0]/2 = 1 + (3x0 -y0)/2
y = 1 + (3y0 -x0)/2

转化为
3x0 -y0 = 2x -1
3y0 -x0 = 2y -1

解出
x0 = (3x + y -2)/4
y0 = (3y + x -2)/4

(x0, y0)满足双曲线方程，所以
[(3x+y-2)/4]^2 - [(3y+x-2)/4]^2 = 1
(3x+y-2)^2 - (3y+x-2)^2 = 16
[(3x+y-2) + (3y+x-2)][(3x+y-2)-(3y+x-2)] = 16
4(x+y-1)* 2(x-y) = 16
(x+y-1)(x-y) = 2
x^2 - y^2 - x + y = 2
(x -1/2)^2 - (y -1/2)^2 = 2
此为双曲线方程，其特点为
1）左右开口
2）水平方向对称轴 x = 1/2
3) 垂直方向对称轴 y = 1/2
4) 左支顶点为 x=1/2 - √2，y=1/2
5）右支顶点为 x=1/2 + √2, y=1/2
x的取值范围：
x ≤1/2 - √2 和 x ≥ 1/2 + √2