Question

已知函数f(x)=x∧2/lnx,

已知函数f(x)=x^2/lnx,(1)求函数f(x)的单调区间
（2）若g(x)=f(x)+(4m^2-4mx)/lnx(其中m为常数），且当0＜m＜1/2时，设函数g(x)的3个极值点为a、b、c，且a＜b＜c,证明a+c＞2/√
2/√e

Answer 1

(1)f(x)=x^2/lnx,定义域要求x>0且x≠1，求导得到：
f(x)'=(2xlnx-x^2/x)/ln^2x=x(2lnx-1)/ln^2x.
另f(x)'=0,所以：
x=e^(1/2).
当x>=e^(1/2)，则有f(x)'>=0,所以单调增区间为：[e^(1/2),+∞）
当x<e^(1/2),则有f(x)‘<0,所以单调减区间为：(0,1)和（1，e^(1/2)).

(2)g(x)=x^2/lnx+(4m^2-4mx)/lnx=(x^2-4mx+4m^2)/lnx=(x-2m)^2/lnx.
g(x)'=[2(x-2m)lnx-(x-2m)^2/x]/ln^2x=(x-2m)(2xlnx-x+2m)/(xln^2x)