Question

已知函数f(x)=e^x+ax若对于任意x∈R,f(x)>0恒成立,试确定实数a的取值范围

如题
已知函数f(x)=e^x+ax若对于任意x∈R,f(x)>0恒成立,试确定实数a的取值范围

Answer 1

答：
对任意实数x，恒有f(x)=e^x+ax>0成立
求导：f'(x)=e^x+a
1）当a>0时，f'(x)=e^x+a>0，f(x)是R上的单调递增函数
x趋于负无穷时，e^x趋于0，ax趋于负无穷
f(x)=e^x+ax趋于负无穷，与题意不符合，假设矛盾
2）当a=0时，f(x)=e^x>0在R上恒成立，假设成立
3）当a<0时，f'(x)=e^x+a=0，e^x=-a>0有唯一的解x=ln(-a)
当x<ln(-a)时，f'(x)<0，f(x)是减函数
当x>ln(-a)时，f'(x)>0，f(x)是增函数
所以：x=ln(-a)时f(x)取得最小值f(ln(-a))=-a+aln(-a)>0
所以：1-ln(-a)>0
所以：ln(-a)<1
所以：0<-a<e
所以：-e<a<0
综上所述，-e<a<=0