Question

如图，圆o是直角三角形ABC的外接圆，角ABC=九十度，弦BD=BA,AB=12,BC=5,BE⊥

如图，圆o是直角三角形ABC的外接圆，角ABC=九十度，弦BD=BA,AB=12,BC=5,BE⊥DC交DC的延长线于E
1求DE长
2求证BE是⊙O的切线

Answer 1

(1)证明 ； ∵AB=DB,
∴∠BDA=∠BAD,
又∵∠BDA=∠BCA,
∴∠BCA=∠BAD.

(2)解；∵∠BDE=∠CAB（圆周角定理）
且∠BED=∠CBA=90°
∴△BED∽△CBA

∴BD/AC=DE/AB
即12/13=DE/12
∴DE=144/13

(3)连结OB,则OB=OC,
∴∠OBC=∠OCB,
∵四边形ABCD内接于⊙O,
∴∠BAC+∠BCD=180°,
又∵∠BCE+∠BCD=180°,
∴∠BCE=∠BAC,由(1)知∠BCA=∠BAD,
∴∠BCE=∠OBC,
∴OB∥DE
∵BE⊥DE
∴OB⊥BE,
∴BE是⊙O的切线.

Answer 2

连结OB,则OB=OC,∴∠OBC=∠OCB,
∵四边形ABCD内接于⊙O,∴∠BAC+∠BCD=180°,
又∵∠BCE+∠BCD=180°,∴∠BCE=∠BAC,由(1)知∠BCA=∠BAD,∴∠BCE=∠OBC,∴OB∥DE
∵BE⊥DE,∴OB⊥BE,∴BE是⊙O的切线.