Question

如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，M、N分别是AC、BD的中点，求证：MB=MD；MN⊥BD

Answer 1

证明：
∵∠ABC=90°，M是AC中点
∴MB=1/2AC（直角三角形斜边中线等于斜边一半）
∵∠ADC=90°，M是AC中点
∴MD=1/2AC
∴MB=MD
∵N是BD中点
∴MN⊥BD（三线合一）

Answer 2

(1)∵∠ABC=∠ADC=90°、AM=MC(已知）∴DM=1/2AC,BM=1/2AC（任意直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）∴MB=MD（等量代换）
(2)∵MB=MD（已证），DN=BN（已知），MN=MN（已知）∴△MND≌△MNB（sss）∴∠MND=∠MNB（全等三角形对应边相等）∵∠MND+∠MNB=180°（平角性质）∴∠MND=∠MNB=90°（等量代换）∴MN丄BD （垂直定义）

Answer 3

M为AC中点，三角形ADC和ABC为直角三角形，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，所以DM=AM=MC,BM=AM=MC,得MB=MD
因为MB=MD所以三角形MDB为等腰三角形，又因为N为DB中点所以MN为MDB的中线，根据等腰三角形三线合一得
MN⊥BD