Question

必修二圆的问题

直角△ABC的斜边长为定值2m,以斜边的中点O为圆心做半径为n的圆,直线BC交圆O于P、Q两点，若O为平面直角坐标系xoy的原点，B、C在x轴上。如图所示

求△ABC的顶点A的轨迹方程

Answer 1

A的轨迹方程是以O为圆心，半径为m的圆。
这道题只有一问吗？半径为n的那个圆是没用的条件。

追问

有两问，第二问是求证|AP|^2+|PQ|^2+|PQ|^2为定值。不过我连第一问都看不明白，能不能给我第一问具体过程

追答

好呀~

因为角BAC为直角，而直径对应的圆周角一定是直角，所以以BC为直径作圆，圆上的每一个点A都应该满足角BAC为直角。这貌似是定理一类的可以直接用的结论吧。

如果要证明的话就连接OA，再分别做平行于AB与AC边的两条中位线，可以证明两条中位线均为中垂线，所以“∠OBA=∠OAB，∠OCA=∠OAC"，因此OA=OB=OC，所以ABC三点共圆。

或者反过来理解这个定理会更简单：以BC为直径作圆，圆上的一个点记为P，连接OP，显然有OB=OC=OP=半径，那么OBP与OCP都是等腰三角形，所以“∠OBP=∠OPB，∠OCP=∠OPC"，而∠OBP+∠OCP+∠BPC=180°是三角形内角和，即∠OBP+∠OCP+∠BPO+∠OPC=2∠BPC=180°，所以圆上任意一点P满足∠BPC为直角

所以方程是：x²+y²=m²