Question

已知f(x)=根号(1+x^2),a,b为相异两正数,求证:|f(a)-f(b)|<|a-b|.

Answer 1

f(x)是增函数

则不妨先设a>b>0
则f(a)>f(b)
f(a)-f(b)=√(1+a^2)-√(1+b^2)
=[√(1+a^2)-√(1+b^2)][√(1+a^2)+√(1+b^2)]/[√(1+a^2)+√(1+b^2)]
=(1+a^2-1-b^2)/[√(1+a^2)+√(1+b^2)]
=(a^2-b^2)/[√(1+a^2)+√(1+b^2)]

所以[f(a)-f(b)]/(a-b)
=(a+b)/[√(1+a^2)+√(1+b^2)]

a>0,1+a^2>a^2>0
所以√(1+a^2)>a>0
同理，√(1+b^2)>b>0
所以0<a+b<√(1+a^2)+√(1+b^2)
所以[f(a)-f(b)]/(a-b)<1
因为a>b
所以f(a)-f(b)<a-b
|f(a)-f(b)|<|a-b|

若a<b
则f(a)<f(b)
仍有[f(a)-f(b)]/(a-b)<1
则f(a)-f(b)>a-b
所以0<a-b<f(a)-f(b)
则|f(a)-f(b)|<|a-b|

综上
|f(a)-f(b)|<|a-b|