Question

高中数学双曲线题

已知直线y=x+m与双曲线x平方减2/y 平方等于1相交于A，B两点，且OA垂直OB，求M的值。

Answer 1

解：(1)将y=x m代入抛物线方程得(x m)²=8x，即有x² (2m-8)x m²=0........(1)
设A(x₁，y₁)；B(x₂，y₂)；则：
x₁ x₂=8-2m；x₁x₂=m²；y₁ y₂=(x₁ x₂) 2m=8；
y₁y₂=(x₁ m)(x₂ m)=x₁x₂ m(x₁ x₂) m²=m² m(8-2m) m²=8m；
弦长∣AB∣=√{(1 k²)[(x₁ x₂)²-4x₁x₂]}=√{2[(8-2m)²-4m²]}=√[2(64-32m)]=8√(2-m)=10
√(2-m)=10/8=5/4，∣2-m∣=25/16，2-m=±(25/16)，故m=2∓(25/16)=7/16或57/16(舍去)
【当m=57/16时直线y=x 57/16与抛物线没有交点，故应舍去】
即若∣AB∣=10，则m=7/16.
(2)若OA⊥OB，则OA•OB=x₁x₂ y₁y₂=m² 8m=m(m 8)=0，故得m=-8，(m=0舍去)

追问

抛物线还没有学啊，可不可以用双曲线知识解决。

Answer 2

联立直线y=x+m与双曲线x²-(y²/2)=1得到：2x²-(x+m)²-2=0
===> 2x²-x²-2mx-m²-2=0
===> x²-2mx-(m²+2)=0
===> x1+x2=2m；x1x2=-(m²+2)
设A(x1,x1+m)，B(x2,x2+m)
则：Koa=(x1+m)/x1；Kob=(x2+m)/x2
已知OA⊥OB，则：Koa*Kob=-1
===> [(x1+m)/x1]*[(x2+m)x2]=-1
===> (x1+m)(x2+m)=-x1x2
===> x1x2+(x1+x2)m+m²+x1x2=0
===> 2x1x2+(x1+x2)m+m²=0
===> -2(m²+2)+2m²+m²=0
===> m²-4=0
===> m=±2

追问

因为没有学过联立，所以对第一步就有疑惑，希望你能详细说一下，还有能给介绍KOA，B是什么吗?顺便可以说说思路吗？拜托了。

追答

直线和双曲线相交，那么列方程组就可以就出两个交点——这就是“联立方程”的意思
已知直线y=x+m，双曲线x²-(y²/2)=1
那么，解方程组可以将双曲线方程中的y用y=x+m代替，进而进行求解

Koa表示的是OA所在直线的斜率，Kob就是OB所在直线的斜率