Question

如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD是BC边上的高，E是BC边上的一个动点（不与B，C重合）

如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD是BC边上的高，E是BC边上的一个动点（不与B，C重合），EF⊥AB，EG⊥AC，垂足分别为F，G. （1）求证: EG/AD=CG/CD； （2）FD与DG是否垂直？若垂直，请给出证明；若不垂直，请说明理由； （3）当AB=AC时，△FDG为等腰直角三角形吗？并说明理由.

Answer 1

(1)∵∠ADC=∠EGC=90°
∠ECG=∠ACD
∴△ECG∽△ACD
∴EG/AD=CG/CD
(2)FD⊥DG，
∵∠BDA=∠BAC=Rt∠，∠B=∠B
∴∠C=∠BAD
∵EG/AD=CG/CD，EG=AF
∴AF/AD=CG/CD
∴△ADF∽△CDG
∴∠FDA=∠GDC
∵∠CDG+∠GDA=90°
∴∠FDG=∠ADF+∠GDA=90°
∴FD⊥DG
(3) △FDG为等腰直角三角形，理由如下：
∵AB=AC，∠BAC=90°
∴∠C=45°
又∠EGC=90°
∴∠CEG=45°
∴CG=EG=AF
又∵∠FDA=∠GDC，∠DAF=∠DCG
∴△FDA≌△GDC
∴FD=DG
又∵∠FDG=90°
∴△FDG为等腰直角三角形

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