Question

已知直线y=x-m与抛物线y^2=2x相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点，O为坐标原点。

已知直线y=x-m与抛物线y^2=2x相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点，O为坐标原点。当m=2时，证明：OA⊥OB。

Answer 1

当m＝2时，直线y＝x－m就是y＝x－2。联立：y＝x－2、y^2＝2x，消去y，得：（x－2）^2＝2x，∴x^2－4x＋4＝2x， ∴x^2－6x＋4＝0。 显然，x1、x2是方程x^2－6x＋4＝0的两根，∴由韦达定理，有：x1＋x2＝6、x1x2＝4。 ∵A、B都在直线y＝x－2上，∴y1＝x1－2，y2＝x2－2。 ∴向量OA＝（x1，x1－2）、向量OB＝（x2，x2－2）， ∴向量OA??跨錌＝x1x2＋（x1－2）（x2－2）＝4＋x1x2－2（x1＋x2）＋4＝8＋4－2??， ∵OA⊥OB。