已知a,b,c属于R+,且a+b+c=1.求证:(1/a-1)(1/b-1)(1/c-1)≥8
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∵a，b，c为正实数，且a+b+c=1，
∴1/a-1=(a+b+c)/a-1=(b+c)/a≥(2√bc)/a>0；
1/b-1=(a+b+c)/b-1=(c+a)/b≥(2√ca)/b>0；
1/c-1=(a+b+c)/c-1=(a+b)/c≥(2√ab)/c>0，
三式相乘，得
(1/a-1)(1/b-1)(1/c-1)≥[(2√bc)/a] [(2√ca)/b] [(2√ab)/c]=8，
即(1/a-1)(1/b-1)(1/c-1)≥8，(当且仅当a=b=1/3时取等号).
∴1/a-1=(a+b+c)/a-1=(b+c)/a≥(2√bc)/a>0；
1/b-1=(a+b+c)/b-1=(c+a)/b≥(2√ca)/b>0；
1/c-1=(a+b+c)/c-1=(a+b)/c≥(2√ab)/c>0，
三式相乘，得
(1/a-1)(1/b-1)(1/c-1)≥[(2√bc)/a] [(2√ca)/b] [(2√ab)/c]=8，
即(1/a-1)(1/b-1)(1/c-1)≥8，(当且仅当a=b=1/3时取等号).
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