Question

已知抛物线y=ax2-(a+c)x+c(其中a≠c且a≠0) (1)求此抛物线与x轴交点坐标

Answer 1

解：（1）抛物线y=ax2-（a+c）x+c与x轴交点的横坐标是关于x的方程ax2-（a+c）x+c=0（其中a≠0，a≠c）的解．
解得x1=1，x2=ca．
∴抛物线与x轴交点的坐标为（1，0），(ca，0)

（2）抛物线y=ax2-（a+c）x+c的顶点A的坐标为(a+c2a，-(a-c)24a)．
∵经过此抛物线顶点A的直线y=-x+k与此抛物线的另一个交点为B(a+ca，-c)，
∴-(a-c)24a=-a+c2a+k①-c=-a+ca+k②-c=a(a+ca)2-(a+c)×a+ca+c③
由③得c=0．
将其代入①、②得-a4=-12+k0=-1+k.
解得a=-2．
∴所求抛物线的解析式为y=-2x2+2x．

（3）作PE⊥x轴于点E，PF⊥y轴于点F．（如图）
抛物线y=-2x2+2x的顶点A的坐标(12，12)，
点B的坐标为（1，0），点C的坐标为（0，1）．
设点P的坐标为（m，n）．
∵点P在x轴上方的抛物线y=-2x2+2x上，
∴n=-2m2+2m，且0＜m＜1，0＜n＜12．
∴tan∠POB=PEOE=nm，tan∠POC=PFOF=mn．
∵tan∠POB=14tan∠POC，
∴m2=4n2．
解得m=2n，或m=-2n（舍去）．
将m=2n代入n=-2m2+2m，得8n2-3n=0．
解得n1=38，n2=0（舍去）．
∴m=2n=34．
∴点P的坐标为(34，38)．

（4）N关于n的函数关系式为N=4n．
说明：二次函数y=-2x2+2x的自变量x在n≤x＜n+1（n为正整数）的范围内取值，此时y随x的增大而减小，
∴-2n2-2n＜y≤-2n2+2n，
其中的整数有-2n2-2n+1，-2n2-2n+2，-2n2+2n．N=（-2n2+2n）-（-2n2-2n）=4n．

Answer 2

c／a 不是ac 第一问