Question

如图,已知抛物线y=ax2+bx+c经过A(-3,0), B(1,0),C(0,3)三点,其顶点为D,对称轴是

如图，已知抛物线y=ax2+bx+c经过A（-3，0），
B（1，0），C（0，3）三点，其顶点为D，对称轴是
直线l，l与x轴交于点H．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若点P是该抛物线对称轴l上的一个动点，求△PBC周长的最小值；
（3）如图（2），若E是线段AD上的一个动点（ E与A、D不重合），过E点作平行于y轴的直线交抛物线于点F，交x轴于点G，设点E的横坐标为m，△ADF的面积为S．
①求S与m的函数关系式；
②S是否存在最大值？若存在，求出最大值及此时点E的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

抛物线y=ax2+bx+c经过A（-3，0），B（1，0），
∴y=a(x+3)(x-1),
又过C(0,3),
∴3=-3a,a=-1,
∴y=-(x+3)(x-1)=-x^2-2x+3.
(2)l:x=-1,C点关于l的对称点C'(-2，3),
PB+PC=PB+PC'>=BC'=3√2，
BC=√10，
∴△PBC周长的最小值=3√2+√10.
（3）D(-1，4),AD:y=2x+6,E(m,2m+6),-3<m<-1,
EF:x=m,F(m,-m^2-2m+3),
①S=(1/2)|EF|*(xD-xA)=-m^2-2m+3-(2m+6)=-m^2-4m-3,-3<m<-1.
②S=1-(m+2)^2,m=-2时S取最大值1，这时E(-2，2).

Answer 2

(1)y=-x^2-2x+3
(2)做C点关于I的对称点C'，连接BC'，与I交点即为△PBC周长的最小值时的P点
可求最小值为3*sqrt(2)+sqrt(10)
(3)无图

Answer 3

抛物线y=ax2+bx+c经过A（-3，0），B（1，0），
∴y=a(x+3)(x-1),
又过C(0,3),
∴3=-3a,a=-1,
∴y=-(x+3)(x-1)=-x^2-2x+3.
(2)l:x=-1,C点关于l的对称点C'(-2，3),
PB+PC=PB+PC'>=BC'=3√2，
BC=√10，
∴△PBC周长的最小值=3√2+√10.
（3）D(-1，4),AD:y=2x+6,E(m,2m+6),-3<m<-1,
EF:x=m,F(m,-m^2-2m+3),
①S=(1/2)|EF|*(xD-xA)=-m^2-2m+3-(2m+6)=-m^2-4m-3,-3<m<-1.
②S=1-(m+2)^2,m=-2时S取最大值1，这时E(-2，2).

Answer 4

解：（1）由题意可知：
a+b+c＝0
9a?3b+c＝0
c＝3
解得：
a＝?1
b＝?2
c＝3
∴抛物线的解析式为：y=-x2-2x+3；
（2）∵△pbc的周长为：pb+pc+bc
∵bc是定值，
∴当pb+pc最小时，△pbc的周长最小，
∵点a、点b关于对称轴l对称，
∴连接ac交l于点p，即点p为所求的点
∵ap=bp
∴△pbc的周长最小是：pb+pc+bc=ac+bc
∵a（-3，0），b（1，0），c（0，3），
∴ac=3
2
，bc=
10
；
故△pbc周长的最小值为3
2
+
10
．
（3）①∵