Question

设抛物线y^2 =2px (p＞0)的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线的

设抛物线y^2 =2px (p＞0)的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线的准线上，且BC‖x轴．求证直线AC经过原点O．

Answer 1

F(p/2, 0)

先考虑特殊情况,　即AB与x轴垂直；不妨设A在第一象限

A(p/2, p), B(p/2, -p)

准线x = -p/2, C(-p/2, -p)

AC的斜率为(-p - p)/(-p/2 - p/2) = 2

AC的方程为: y + p = 2(x + p/2), y = 2x

x = 0, y = 0, 即AC过原点

此外设A(a²/(2p), a), B(b²/(2p), b), C(-p/2, b)

其余见图.

y = 2px/a也过原点