Question

数学题，帮忙，急救

在等边三角形ABC中，AB=2，点P是AB边上的任意一点（点P可以与点A重合，但不与点B重合），过点P作PE⊥BC，垂足为点E，过点E作EF⊥AC，垂足为点F，过点F作FQ⊥AB，垂足为点Q，设BP=x，AQ=y.
（1）写出y与x之间的函数关系式；
（2）当BP的长等于多少时，点P与点Q重合？
（3）当线段PE、FQ相交时，写出线段PE、EF、FQ所围成的三角形的周长的取值范围.

Answer 1

如图，

（1）由题意可知BE=BP/2, CE=2CF, AF=2AQ，又因是等边三角形，所以∠A=∠B=∠C=60°。则

y=[2-(2-x/2)/2]/2=(4+x)/8，且0≤x<2

（2）点P与点Q重合，即y+x=2，与y=(4+x)/8组合，解得x=4/3

所以当BP的长等于4/3时，点P与点Q重合。

（3）当BP大于4/3，即x>4/3时，线段PE、FQ相交，此时线段PE、EF、FQ所围成的三角形的周长最长。

又因线段PE、EF、FQ所围成的三角形的也是等边三角形（由三条垂线与等边三角形ABC可推知），当P与A重合时线段PE、EF、FQ所围成的三角形的周长最短。

PE=x√3/2, EF=(4-x)√3/4, FQ=(4+x)√3/8，

故线段PE、EF、FQ所围成的三角形的周长C=3*(4-x)√3/4，3*(4-2)√3/4≤C<3*(4-4/3)√3/4，

所以线段PE、EF、FQ所围成的三角形的周长的取值范围是 [3√3/2 , 2√3)

Answer 2

(1)因为BP=x，所以BE=x/2，所以CE=2-x/2，所以CF=1/2（2-x/2），所以AF=2-1/2（2-x/2），
所以AQ=1/2AF=1/2<2-1/2（2-x/2）>=1/2+X/8
（2）因为点P与点Q重合，所以AP+BQ=2
也就是x+y=2，所以：1/2+X/8+x=2 所以x=4/3 也就是BP=4/3

Answer 3

解：（1）y=0.125x+0.5 （可以先取两个特殊值，如x=2 x=1，分别根据30°的直角三角形斜边长=2短直角边长求出y=0.75 y=0.625 再设y=kx+b 解方程组）
（2）当BP长为4/3时，PQ重合（即y+x=2 y=0.125x+0.5 解方程组）
（3）根号3-4/3 （等边三角形减去四个直角三角形[PE、FQ相交即PQ重合，计算可得四个全等]的面积）