Question

证明。一道数论

存在无穷多个正整数n使n整除2的n次方加2

• 你的回答被采纳后将获得：
• 系统奖励15（财富值+成长值）+难题奖励30（财富值+成长值）

Answer 1

存在无穷多个正整数n，使得n|（2^n +2）
这个问题有点难，是某一个牛人做出来的，他实在太厉害了

下证：如果n为偶数，且n|（2^n +2），（n-1）|（2^n +1）
那么一定有【2^n +1】 |（2^(2^n+2) +1）,【2^n +2】 |(2^(2^n +2)+2)

证明：当n=2时，结论成立
当n=k时成立，（k>=2），那么就有k|（2^k +2），（k-1）|（2^k +1）
那么2^k+1 =（k-1）s

显然s是奇数，那么2^（k-1） +1 |2^【（k-1）s】 +1
也就是2^（k-1） +1 |2^【2^（2^k +1）】 +1
也就是2^k +2 |2^【2^（2^k +2）】 +2
而k|（2^k +2），则即2^k+2=mk，因为m必然为奇数
故显然【2^k +1】|2^(2^k+2) +1）

归纳假设成立，结论成立
所以存在无穷多个n，使得n|（2^n+2）

n=2，6，66……